Question

若一系列函數(shù)的解析式和值域相同，但其定義域不同，則稱這些函數(shù)為“同族函數(shù)”，例如函數(shù)y=x²，x∈[1，2]與函數(shù)y=x²，x∈[-2，-1]即為“同族函數(shù)”．下面函數(shù)中，解析式能夠被用來構(gòu)造“同族函數(shù)”的有

①④⑤

 （填入函數(shù)對應(yīng)的序號）
①y=x²-2x+3；   ②y=x³；   ③y=log₂x；   ④y=

ex+e-x

2

；   ⑤y=|2^x-1|

Answer 1

分析：由題意，能夠被用來構(gòu)造“同族函數(shù)”的函數(shù)必須滿足在其定義域上不單調(diào)．由此判斷各個函數(shù)在其定義域上的單調(diào)性，即可得到①④⑤中的函數(shù)是符合題意的，而②③中的兩個函數(shù)在其定義域上是增函數(shù)，不符合題意．

解答：解：根據(jù)題意，“同族函數(shù)”需滿足：對于同一函數(shù)值，有不同的自變量與其對應(yīng)．
因此，能夠被用來構(gòu)造“同族函數(shù)”的函數(shù)必須滿足在其定義域上不單調(diào)．
∵函數(shù)y=x²-2x+3在（-∞，1）上是減函數(shù)，在（1，+∞）上是增函數(shù)，
∴y=x²-2x+3能夠被用來構(gòu)造“同族函數(shù)”，故①正確；
∵函數(shù)y=x³在（-∞，+∞）上是增函數(shù)，
∴y=x³不能夠被用來構(gòu)造“同族函數(shù)”，故②不正確；
∵函數(shù)y=log₂x在（0，+∞）上是增函數(shù)；
∴y=log₂x不能夠被用來構(gòu)造“同族函數(shù)”，故③不正確；
∵函數(shù)y=

ex+e-x

2

在（-∞，0）上是減函數(shù)，在（0，+∞）上是增函數(shù)，
∴y=

ex+e-x

2

能夠被用來構(gòu)造“同族函數(shù)”，故④正確；
∵函數(shù)y=|2^x-1|在（-∞，0）上是減函數(shù)，在（0，+∞）上是增函數(shù)，
∴y=|2^x-1|能夠被用來構(gòu)造“同族函數(shù)”，故⑤正確．
綜上所述，能夠被用來構(gòu)造“同族函數(shù)”的函數(shù)有①④⑤
故答案為：①④⑤

點評：本題給出“同族函數(shù)”的定義，要求我們判斷幾個函數(shù)能否被用來構(gòu)造“同族函數(shù)”，考查了基本初等函數(shù)的單調(diào)性的知識點，屬于中檔題．