已知矩形ABCD，如圖所示．長AB=a,寬AD=b，矩形EFGH為其外接矩形．(1)求矩形EFGH面積的最大值；

(2)求矩形EFGH對角線長的最大值；

(3)兩個矩形的對角線哪個更長，試證明．

解：

(1)設∠ABF=θ,0°＜θ＜90°,

則由三角形知識可知BF=acosθ,BG=bsinθ,AF=asinθ,AE=bcosθ.

則S矩形EFGH=EF·EG=(AE+AF)·(BF+BG)

=(asinθ+bcosθ)(acosθ+bsinθ)=a2sinθcosθ+b2sinθcosθ+absin2θ+abcos2θ

=(a2+b2)sin2θ+ab≤ab+(a2+b2)

= (a+b)2.

當且僅當sin2θ=1,即θ=時取得最大值. 即矩形EFGH面積的最大值為(a+b)2.

(2)矩形EFGH的對角線為EG，EG=

==a+b.

當且僅當θ=時取得最大值.

故矩形EFGH的對角線最大值為a+b.?

(3)EG=＞=AC.故矩形EFGH的對角線更長.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)為迎接校慶，學校準備投入a元建造一個花圃（如圖）．已知矩形ABCD的造價為40元/m2，其余的兩個半圓及兩個圓的造價為20元/m2．兩圓的直徑分別為矩形的長和寬，由于矩形ABCD要種名貴花卉，故建造時要求矩形ABCD的面積越大越好．那么，當矩形ABCD的面積達到最大時，
ADAB
=
 

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)在平面直角坐標系中，已知矩形ABCD的長為2，寬為1，AB、AD邊分別在x軸、y軸的正半軸上，A點與坐標原點重合（如圖所示）．將矩形折疊，使A點落在線段DC上．
（Ⅰ）若折痕所在直線的斜率為k，試寫出折痕所在直線的方程；
（Ⅱ）求折痕的長的最大值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

10、如圖，已知矩形ABCD所在平面外一點P，PA⊥平面ABCD，E、F分別是AB，PC的中點．
（1）求證：EF∥平面PAD；
（2）求證：EF⊥CD；
（3）若∠PDA=45°，求EF與平面ABCD所成的角的大小．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知矩形ABCD的邊AB=4cm，BC=3cm，如圖所示，矩形的頂點A，B為某一橢圓的兩個焦點，且橢圓經過矩形的另外兩個頂點C，D，試建立適當?shù)淖鴺讼�，求橢圓的方程．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案