Question

如圖，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，∠BCF＝∠CEF＝90°，AD＝

(Ⅰ)求證：AE∥平面DCF；

(Ⅱ)當(dāng)AB的長為何值時(shí)，二面角A－EF－C的大小為60°？

Answer 1

答案：
解析：

方法一： 　　(Ⅰ)證明：過點(diǎn)E作EG⊥CF并CF于G，連結(jié)DG，可得四邊形BCGE為矩形．又ABCD為矩形， 　　所以AD⊥∥EG，從而四邊形ADGE為平行四邊形，故AE∥DG． 　　因?yàn)?I>AE平面DCF，DG平面DCF，所以AE∥平面DCF． 　　(Ⅱ)解：過點(diǎn)B作BH⊥EF交FE的延長線于H，連結(jié)AH． 　　由平面ABCD⊥平面BEFG，AB⊥BC，得 　　AB⊥平面BEFC， 　　從而AH⊥EF， 　　所以∠AHB為二面角A－EF－C的平面角． 　　在Rt△EFG中，因?yàn)?I>EG＝AD＝ 　　又因?yàn)?I>CE⊥EF，所以CF＝4， 　　從而BE＝CG＝3． 　　于是BH＝BE·sin∠BEH＝ 　　因?yàn)?I>AB＝BH·tan∠AHB， 　　所以當(dāng)AB為時(shí)，二面角A－EF－G的大小為60°． 　　方法二： 　　如圖，以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，以CB、CF和CD分別作為x軸、y軸和z軸，建立空間直角坐標(biāo)系C－xyz． 　　設(shè)AB＝a，BE＝b，CF＝c， 　　則C(0，0，0)，A( 　　 　　(Ⅰ)證明： 　　所以 　　所以CB⊥平面ABE． 　　因?yàn)?I>GB⊥平面DCF，所以平面ABE∥平面DCF 　　故AE∥平面DCF 　　(Ⅱ)解：因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/1281/0020/aec522f585e94d834e6f5c67edf7b6b6/C/Image47.gif" width=250 height=25>， 　　所以，從而 　　 　　解得b＝3，c＝4． 　　所以． 　　設(shè)與平面AEF垂直， 　　則， 　　解得． 　　又因?yàn)?I>BA⊥平面BEFC，， 　　所以， 　　得到． 　　所以當(dāng)AB為時(shí)，二面角A－EFC的大小為60°． 　　本題主要考查空間線面關(guān)系、空間向量的概念與運(yùn)算等基礎(chǔ)知識，同時(shí)考查空間想象能力和推理運(yùn)算能力．滿分14分．