Question

如圖，矩形ABCD和梯形BEFC所在的平面互相垂直，BE∥CF，BE＜CF，∠BCF=

π

2

，AD=

3

，EF=2．
（I）求證：DF∥平面ABE；
（II）設(shè)

CF

CD

=λ，問：當(dāng)λ取何值時，二面角D-EF-C的大小為

π

6

．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)在一個平面上有兩條相交直線與另一個平面的兩條相交直線平行，得到兩個平面平行，根據(jù)面面平行再推出線面平行．
（2）建立坐標(biāo)系，求出平面DEF的一個法向量和平面CEF的一個法向量，代入向量夾角公式，根據(jù)二面角D-EF-C的大小為

π

6

，易構(gòu)造一個關(guān)于λ的方程，解方程即可得到λ的值．

解答：證明：（I）BE∥CF，AB∥CD且BE∩AB=B，F(xiàn)C∩CD=C，…2分
∴面ABE∥面CDF…3分，
又DF?面CDF，
DF∥平面ABE；…4分
解：（II）過E作GE⊥CF交CF于G
∴EG∥BC∥AD且EG=BC=AD
∴EG=AD=

3

，又EF=2，
∴GF=1
∵四邊形ABCD為科技，
∴DC⊥BC
∵∠BCF=

π

2

，∴FC⊥BC
又平面AC⊥平面BF，平面AC∩平面BF=BC
∴FC⊥平面AC，
∴FC⊥D
以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，以CB，CD，CF分別為x，y，z軸建系，…6分
設(shè)CD=m，CF=λm
A(

3

，m，0)，E(

3

，0，λm-1)，F(xiàn)(0，0，λm)，D(0，m，0)，B（

3

，0，0），C（0，0，0）
∴

EF

=（-

3

，0，1），

DF

=（0，-m，λm）…7分
取平面CEF的一個法向量

n

=（0，1，0）…8分
取平面DEF的一個法向量

m

=（x，y，z），則

m • EF =0 m • DF =0

，即

- 3 x+z=0 -my+λmz=0

則

m

=（1，

3

λ，

3

）…10分
則cos

π

6

=

3 λ

4+3λ2

=

3

2

…12分
解得：λ=2
即當(dāng)λ=2時，二面角D-EF-C的大小為

π

6

…13分

點(diǎn)評：本題考查用空間向量求兩個平面間的夾角，本題解題的關(guān)鍵是求出兩個平面的法向量，把解題的重點(diǎn)轉(zhuǎn)移到數(shù)字的運(yùn)算．