【題目】已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn , 且滿足Sn=n2﹣4n,數(shù)列{bn}中,b1= 對任意正整數(shù)
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)是否存在實數(shù)μ,使得數(shù)列{3nbn+μ}是等比數(shù)列?若存在,請求出實數(shù)μ及公比q的值,若不存在,請說明理由;
(3)求證:

【答案】
(1)解:當n=1時,a1=S1=﹣3,

當n≥2時,an=Sn﹣Sn﹣1=n2﹣4n﹣(n﹣1)2+4(n﹣1),

即an=2n﹣5,

n=1也適合,所以an=2n﹣5.


(2)解:法一:

假設存在實數(shù)μ,使數(shù)列{3nbn+μ}是等比數(shù)列,且公比為q.

因為對任意正整數(shù) , ,

可令n=2,3,得 b2= ,b3=﹣

因為{3nbn+μ}是等比數(shù)列,所以 = ,解得 μ=﹣

從而 = = =﹣3 (n≥2)

所以存在實數(shù)μ=﹣ ,公比為q=﹣3.

法二:因為對任意正整數(shù) .所以

設3nbn+μ=﹣3(3n﹣1bn﹣1+μ),則﹣4μ=1,

所以存在 ,且公比


(3)解:因為a2=﹣1,a3=1,所以 ,

所以 ,即

于是b1+b2+…+bn= + + +… = = =

當是奇數(shù)時:b1+b2+…+bn=,關于遞增,

≤b1+b2+…+bn

當是偶數(shù)時:b1+b2+…+bn= ,關于遞增,

≤b1+b2+…+bn

綜上, ≤b1+b2+…+bn


【解析】(1)當n=1時,a1=S1=﹣3,當n≥2時,an=Sn﹣Sn﹣1,可得an.(2)法一:假設存在實數(shù)μ,使數(shù)列{3nbn+μ}是等比數(shù)列,且公比為q.因為對任意正整數(shù) ,可令n=2,3,得 b2,b3.根據(jù){3nbn+μ}是等比數(shù)列,可得: = ,解得 μ,代入可得 =﹣3 (n≥2)即可證明.

法二:因為對任意正整數(shù) .所以 ,設3nbn+μ=﹣3(3n﹣1bn﹣1+μ),可得﹣4μ=1,即可證明.(3)由a2=﹣1,a3=1,可得 , ,可得 ,即 ,利用等比數(shù)列的求和公式即可得出.對n分類討論,利用數(shù)列的單調性即可證明.

【考點精析】解答此題的關鍵在于理解數(shù)列的前n項和的相關知識,掌握數(shù)列{an}的前n項和sn與通項an的關系,以及對數(shù)列的通項公式的理解,了解如果數(shù)列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示,那么這個公式就叫這個數(shù)列的通項公式.

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