已知A（8，0），B、C兩點分別在y軸上和x軸上運動，并且滿足
AB
•
BP
=0，
BC
=
CP
，
（1）求動點P的軌跡方程；
（2）若過點A的直線l與動點P的軌跡交于M、N兩點，
QM
•
QN
=97，其中Q（-1，0），求直線l的方程．
考點：與直線有關(guān)的動點軌跡方程,直線的一般式方程
專題：向量與圓錐曲線,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：（1）分別設(shè)出B、C、P的坐標(biāo)，得到有關(guān)向量的坐標(biāo)，由
AB
•
BP
=0，
BC
=
CP
聯(lián)立求得動點P的軌跡方程；
（2）設(shè)出直線l的方程y=kx-8k，和拋物線方程聯(lián)立，化為關(guān)于y的一元二次方程，利用根與系數(shù)關(guān)系得到M，N兩點的橫縱坐標(biāo)的和與積，由
QM
•
QN
=97列式求出k的值，不滿足方程的判別式大于0，直線l不存在．
解答： 解：（1）設(shè)B（0，b），C（c，0），P（x，y），則
AB
=(-8，b)，
BP
=(x，y-b)，
∴
AB
•
BP
=-8x+b（y-b）=0  ①
由
BC
=
CP
，得（c，-b）=（x-c，y），
∴b=-y，
代入①并化簡得，y2=-4x；
（2）設(shè)l：y=kx-8k  ②，
把②代入y2=-4x，整理得
k2x2+（4-16k2）x+64k2=0，
由△=（4-16k2）2-256k4＞0，得
k2＜
1
8
．
設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），
則x1+x2=
16k2-4
k2
，x1x2=64．
∴
QM
•
QN
=(x1+1)(x2+1)+y1y2
=x1x2+（x1+x2）+1+y1y2
=(k2+1)x1x2-(8k2-1)(x1+x2)+64k2+1
=64(k2+1)-(8k2-1)•
16k2-4
k2
+64k2+1=97，
解得：k=
1
4
．
不滿足k2＜
1
8
．
∴滿足條件的直線l不存在．
點評：本題考查了與直線有關(guān)的動點的軌跡方程，考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，考查了向量的坐標(biāo)運算，訓(xùn)練了利用數(shù)量積求解參數(shù)問題，屬中高檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知平行四邊形ABCD的三個頂點坐標(biāo)：A（0，0），B（3，
3
），C（4，0）．
（1）求邊CD所在直線的方程（結(jié)果寫成一般式）；
（2）證明平行四邊形ABCD為矩形，并求其面積．

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已知直線ax+by+c=0（abc≠0）與圓x2+y2=1相切，若△ABC的三邊長分別為|a|，|b|，|c|，則該三角形為
 
（判斷三角形的形狀）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

巳知等差數(shù)列{an}的公差d=1，若l，a1，a3成等比數(shù)列，則首項a1=（　�。�
A、-1B、-1或2
C、2D、-2或1

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若函數(shù)f（x）=ax2-2ax+b+2（a＞0）在-2≤x≤3上的最大值為5，最小值為2，求a，b．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

實數(shù)x、y滿足
x-4y≤3
3x+5y≤25
x≥1
，則
y
x
的取值范圍是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在可行域內(nèi)任取一點，其規(guī)則如流程圖所示，則能輸出數(shù)對（x，y）的概率是（　�。�
A、
π
8
B、
π
4
C、
π
6
D、
π
2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2+（2+lga）x+lgb，f（-1）=-2當(dāng)x∈R時，f（x）≥2x恒成立．
（1）求實數(shù)a，b的值．
（2）當(dāng)函數(shù)f（x）的定義域為[t，t+1]（t＜0）時，求函數(shù)f（x）的最小值g（t）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖所示是一個幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（　�。�
A、1
B、
1
2
C、
3
4
D、
3
2

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