Question

（2013•錦州二模）已知正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}滿足：a₃=a₂+2a₁，若存在兩項(xiàng)a_m，a_n，使得

aman

=4a1，則

1

m

+

4

n

的最小值為（　�。�

• A．

  3

  2

• B．

  5

  3

• C．

  25

  6

• D．不存在

Answer 1

分析：由正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}滿足：a₃=a₂+2a₁，知q=2，由存在兩項(xiàng)a_m，a_n，使得

aman

=4a1，知m+n=6，由此能求出

1

m

+

4

n

的最小值．

解答：解：∵正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}滿足：a₃=a₂+2a₁，
∴a1q2=a1q+2a1，
即：q²=q+2，解得q=-1（舍），或q=2，
∵存在兩項(xiàng)a_m，a_n，使得

aman

=4a1，
∴aman=16a12，
∴(a1•2m-1)•(a1•2n-1)=16a12，
∴a12•2m+n-2=16a12，
所以，m+n=6，
∴

1

m

+

4

n

=（

1

m

+

4

n

）[

1

6

（m+n）]=

1

6

（5+

n

m

+

4m

n

）≥

1

6

（5+2

n m • 4m n

）=

3

2

，
所以，

1

m

+

4

n

的最小值是

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．注意不等式也是高考的熱點(diǎn)，尤其是均值不等式和一元二次不等式的考查，兩者都兼顧到了．