Question

【題目】如圖1，四棱錐中，底面，面是直角梯形，為側(cè)棱上一點(diǎn)．該四棱錐的俯視圖和側(cè)（左）視圖如圖2所示．

（1）證明：平面；

（2）線段上是否存在點(diǎn)，使與所成角的余弦值為？若存在，找到所有符合要求的點(diǎn)，并求的長(zhǎng)；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1），證得．又因?yàn)?/span>平面推出，

又，所以平面．

（2）點(diǎn)位于點(diǎn)處，此時(shí)；或中點(diǎn)處，此時(shí).

【解析】

試題（1）【方法一】證明：由俯視圖可得，，所以．

又因?yàn)?/span>平面，所以，

又，所以平面．

（1）【方法二】證明：因?yàn)?/span>平面，，建立如圖所示

的空間直角坐標(biāo)系． 在△中，易得，所以，

因?yàn)?/span>， 所以，．由俯視圖和左視圖可得：

．

所以，．

因?yàn)?/span>，所以．

又因?yàn)?/span>平面，所以，又

所以平面．

（2）解：線段上存在點(diǎn)，使與所成角的余弦值為．

證明如下：設(shè)，其中．

所以，．

要使與所成角的余弦值為，則有，

所以，解得或，均適合．

故點(diǎn)位于點(diǎn)處，此時(shí)；或中點(diǎn)處，此時(shí)，