Question

已知x＝4是函數(shù)f（x）＝alnx＋x²－12x+11的一個(gè)極值點(diǎn)．

       （1）求實(shí)數(shù)a的值；

       （2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；

       （3）若直線(xiàn)y＝b與函數(shù)y＝f（x）的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，求b的取值范圍．

Answer 1

（1）∵f′（x）＝＋2x－12，

∴f′（4）＝＋8－12＝0

因此a＝16   …………………………………………………………………………3分

（2）由（1）知，

f（x）＝16lnx＋x²－12x＋11，x∈（0，＋∞）

f′（x）＝                       ……………………………………5分

當(dāng)x∈（0,2）∪（4，＋∞）時(shí)，f′（x）＞0

當(dāng)x∈（2,4）時(shí)，f′（x）＜0……………………………………………………………………7分

所以f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0,2），（4，＋∞）

f（x）的單凋減區(qū)間是（2,4） ……………………………………………………………………8分

（3）由（2）知，f（x）在（0,2）內(nèi)單調(diào)增加，在（2,4）內(nèi)單調(diào)減少，在（4，＋∞）上單調(diào)增加，且當(dāng)x＝2或x＝4時(shí)，f′（x）＝0

所以f（x）的極大值為f（2）＝16ln2－9，極小值為f（4）＝32ln2－21

因此f（16）＝16ln16+16²－12×16+11＞16ln2－9＝f（2）

f（e^－2）＜－32＋11＝－21＜f（4）

所以在f（x）的三個(gè)單調(diào)區(qū)間（0,2），（2,4） ，（4，＋∞）內(nèi)，直線(xiàn)y＝b與y＝f（x）的圖象各有一個(gè)交點(diǎn)，

當(dāng)且僅當(dāng)f（4）＜b＜f（2）成立…………………………………………………………13分

因此，b的取值范圍為（32 ln2－21,16ln2－9）．……………………………………14分