Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁B₁=A₁C₁，D，E分別是棱BC，CC₁上的點(diǎn)（點(diǎn)D 不同于點(diǎn)C），且AD⊥DE，F(xiàn)為B₁C₁的中點(diǎn)．求證：
（1）平面ADE⊥平面BCC₁B₁；
（2）直線A₁F∥平面ADE．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，得到CC₁⊥平面ABC，從而AD⊥CC₁，結(jié)合已知條件AD⊥DE，DE、CC₁是平面BCC₁B₁內(nèi)的相交直線，得到AD⊥平面BCC₁B₁，從而平面ADE⊥平面BCC₁B₁；
（2）先證出等腰三角形△A₁B₁C₁中，A₁F⊥B₁C₁，再用類似（1）的方法，證出A₁F⊥平面BCC₁B₁，結(jié)合AD⊥平面BCC₁B₁，得到A₁F∥AD，最后根據(jù)線面平行的判定定理，得到直線A₁F∥平面ADE．
解答：解：（1）∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，
∴CC₁⊥平面ABC，
∵AD?平面ABC，
∴AD⊥CC₁
又∵AD⊥DE，DE、CC₁是平面BCC₁B₁內(nèi)的相交直線
∴AD⊥平面BCC₁B₁，
∵AD?平面ADE
∴平面ADE⊥平面BCC₁B₁；
（2）∵△A₁B₁C₁中，A₁B₁=A₁C₁，F(xiàn)為B₁C₁的中點(diǎn)
∴A₁F⊥B₁C₁，
∵CC₁⊥平面A₁B₁C₁，A₁F?平面A₁B₁C₁，
∴A₁F⊥CC₁
又∵B₁C₁、CC₁是平面BCC₁B₁內(nèi)的相交直線
∴A₁F⊥平面BCC₁B₁
又∵AD⊥平面BCC₁B₁，
∴A₁F∥AD
∵A₁F?平面ADE，AD?平面ADE，
∴直線A₁F∥平面ADE．
點(diǎn)評(píng)：本題以一個(gè)特殊的直三棱柱為載體，考查了直線與平面平行的判定和平面與平面垂直的判定等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．