Question

已知等比數(shù)列{a_n}中，a₂=

1

4

，a₅=

1

32

（Ⅰ）試求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若數(shù)列{b_n}滿足：b_n=

n

an

（n∈N^*），試求{b_n}的前n項(xiàng)和公式T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的通項(xiàng)公式

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式an=a1qn-1，將問(wèn)題化歸為求解a₁和q即可，設(shè)出等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比，由已知列方程組求解；
（Ⅱ）把（Ⅰ）中求得的通項(xiàng)公式代入b_n=

n

an

，顯然是一個(gè)等差數(shù)列{n}和一個(gè)等比數(shù)列{2ⁿ}的積數(shù)列，采用錯(cuò)位相減法求前n項(xiàng)和．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為a₁，公比為q，由a₂=

1

4

，a₅=

1

32

得，

a1q= 1 4 a1q4= 1 32

，解得

a1= 1 2 q= 1 2

，
∴an=

1

2

•(

1

2

)n-1=(

1

2

)n，n∈N^*；
（Ⅱ）由an=(

1

2

)n，得b_n=

n

an

=

n

1 2n

=n•2n，
∴Tn=1×21+2×22+3×23+…+(n-1)×2n-1+n×2ⁿ    （1）
（1）×2得：
2Tn=1×22+2×23+3×24+…+(n-1)×2n+n×2n+1    （2）
（1）-（2）得：
-Tn=21+22+23+…+2n-n×2n+1=

2(1-2n)

1-2

-n•2n+1=-（n-1）•2ⁿ⁺¹-2，
整理得：Tn=(n-1)•2n+1+2，n∈N*．

點(diǎn)評(píng)：本題屬常規(guī)題型，求解過(guò)程中須注意，與等比數(shù)列有關(guān)的消元問(wèn)題通常采用乘除消元，以利簡(jiǎn)化，對(duì)于一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的積數(shù)列，采用錯(cuò)位相減法求和，是中檔題．