Question

【題目】在光滑水平板上放著一塊質(zhì)量為的板，板上疊放著一個(gè)斜面體和一個(gè)物體（如圖所示），斜面體和物體的質(zhì)量分別為和，斜面體斜面的傾角為。已知和之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為，和之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為，現(xiàn)用一個(gè)水平恒力F作用在上。問：F為多大時(shí)，三個(gè)物體可保持相對靜止？

Answer 1

【答案】（1）時(shí)，三物體不能保持相對靜止

（2）時(shí)，F的范圍是：

（3），F的范圍是：

，且當(dāng)，亦即時(shí)，上述的（2）、（3）又變?yōu)椋?/span>

（4），F的范圍是：

（5），F的范圍是：

【解析】

當(dāng)三個(gè)物體間無相對滑動(dòng)時(shí)，將三個(gè)物體看作整體，有.

顯然，要求作用力，即要求整體運(yùn)動(dòng)的加速度.

若、間無滑動(dòng)，則要保證和間無滑動(dòng)，則系統(tǒng)最大的加速度為，

即.

若、間無滑動(dòng)，要保證和間無滑動(dòng)，則系統(tǒng)存在兩種極端情況，即剛好不下滑和剛好不上滑兩種情況，下面先求出這兩種情況所對應(yīng)的加速度值.

以為參照系，不相對滑動(dòng)，則的受力滿足

， ①

， ②

且. ③

整理上述三式可得

，. ④

聯(lián)立①④兩式可得

，且.

顯然，要確定的取值范圍，需要比較、、的大小，而是明顯的，為了方便，我們不妨在數(shù)軸上說明其大小關(guān)系.

先設(shè)、在數(shù)軸上的位置如圖乙所示，此時(shí)，即，亦即.

（1）若，即，則三物體不能保持相對靜止；

（2）若，即，則的范圍是

.

（3）若，即，則的范圍是

.

而當(dāng)，即，亦即時(shí)，上述的（2）（3）又變?yōu)?/span>

（4），的范圍是.

（5），的范圍是.

本題是一道多對象，多臨界狀態(tài)的試題. 這類試題的解答，需要答題者在多個(gè)條件下進(jìn)行比較、篩選，難度都比較大.

在本題所含的臨界狀態(tài)分析中，不僅僅是摩擦力的臨界問題，同時(shí)還包含了從結(jié)論的表達(dá)式中挖掘處隱含著的臨界問題，如題中的取值范圍的確定.

本題的解答采用了數(shù)軸劃分區(qū)間的處理方式，體現(xiàn)了對數(shù)學(xué)知識運(yùn)用的能力.

對于表達(dá)式類的結(jié)果，如果式中含有根式、正弦或余弦、對數(shù)、分式的分母中可能出現(xiàn)零的情況，都意味著我們應(yīng)該對表達(dá)式產(chǎn)生的結(jié)果進(jìn)行討論，這里面既有臨界問題的分析，更有狀態(tài)質(zhì)變的可能，這類情況普遍存在于各類試題中.