Question

【題目】如圖所示，一個(gè)質(zhì)量為，半徑為、厚度為（）的勻質(zhì)環(huán)形導(dǎo)體圓盤(pán)可繞通過(guò)盤(pán)心且垂直盤(pán)面的金屬軸轉(zhuǎn)動(dòng)，金屬軸的電阻可忽略.圓盤(pán)上距盤(pán)心處的電阻率與成正比，即，為常量.整個(gè)環(huán)形圓盤(pán)處在與環(huán)面垂直的恒定勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為.轉(zhuǎn)軸與圓盤(pán)邊緣通過(guò)電刷與理想電感連成閉合回路.一切摩擦均不計(jì).

（1）現(xiàn)用一恒定的外力矩作用于圓盤(pán)，使它由靜止開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)，求當(dāng)圓盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)達(dá)到穩(wěn)定時(shí)，圓盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度和通過(guò)電感的電流.

（2）在圓盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)達(dá)到穩(wěn)定后，突然撤去外力矩，求以后通過(guò)電感的電流隨時(shí)間的變化方程式.

Answer 1

【答案】（1），

（2）

【解析】

（1）先求圓盤(pán)的電阻，取半徑為，寬為的小環(huán)帶，有

，

所以， ①

圓盤(pán)以角速度轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)產(chǎn)生電動(dòng)勢(shì)，大小為

. ②

穩(wěn)定時(shí)磁力矩，電流可由式得①②式得

, ③

. ④

穩(wěn)定時(shí)，有

. ⑤

由①③④⑤式得

， ⑥

. ⑦

（2）撤去外力矩，角速度為時(shí)電流為，電動(dòng)勢(shì)為

. ⑧

對(duì)回路有. ⑨

由轉(zhuǎn)動(dòng)定律有

， ⑩

所以.

由⑧⑨式得

,

所以.

由⑩式得

.

故撤去外力矩后電流隨時(shí)間的變化方程為

.

對(duì)于中學(xué)物理競(jìng)賽試題，我們并不能奢望它只涉及中學(xué)物理教學(xué)的內(nèi)容.實(shí)際上，新的競(jìng)賽大綱所要求的內(nèi)容越來(lái)越接近普通物理的內(nèi)容，加之不再回避微積分的應(yīng)用，這實(shí)際上已經(jīng)突破了中學(xué)物理與大學(xué)物理的傳統(tǒng)分界線.

中學(xué)物理涉及的物理基本規(guī)律與大學(xué)物理并沒(méi)有什么大的差別，從中學(xué)物理到大學(xué)物理是一個(gè)螺旋上升的過(guò)程，這種上升更多地體現(xiàn)在研究手段與數(shù)學(xué)知識(shí)的運(yùn)用上，當(dāng)然，也不排除需要新增更多的知識(shí)內(nèi)容.

本題要求給出電流隨時(shí)間變化的方程式，其結(jié)果是二階微分方程，其解答顯然在中學(xué)階段是無(wú)法完成的，但推導(dǎo)這一方程的過(guò)程我們很難說(shuō)是大學(xué)物理還是中學(xué)物理.