【題目】如圖，△ABC和△ADE是有公共頂點的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，點P為射線BD，CE的交點．

（1）求證：BD=CE；
（2）若AB=2，AD=1，把△ADE繞點A旋轉(zhuǎn)，
①當∠EAC=90°時，求PB的長；
②直接寫出旋轉(zhuǎn)過程中線段PB長的最小值與最大值．

【答案】
（1）

證明：如圖1中，

∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，

∴AB=AC，AD=AE，∠DAB=∠CAE，

在△ADB和△AEC中，

∴△ADB≌△AEC，

∴BD=CE


（2）

解：①a、如圖2中，當點E在AB上時，BE=AB﹣AE=1．

∵∠EAC=90°，

∴CE= = ，

同（1）可證△ADB≌△AEC．

∴∠DBA=∠ECA．

∵∠PEB=∠AEC，

∴△PEB∽△AEC．

∴ = ，

∴ = ，

∴PB=

b、如圖3中，當點E在BA延長線上時，BE=3．

∵∠EAC=90°，

∴CE= = ，

同（1）可證△ADB≌△AEC．

∴∠DBA=∠ECA．

∵∠BEP=∠CEA，

∴△PEB∽△AEC，

∴ = ，

∴ = ，

∴PB= ，

綜上，PB= 或 ．②解：a、如圖4中，以A為圓心AD為半徑畫圓，當CE在⊙A下方與⊙A相切時，PB的值最�。�

理由：此時∠BCE最小，因此PB最小，（△PBC是直角三角形，斜邊BC為定值，∠BCE最小，因此PB最小）

∵AE⊥EC，

∴EC= = = ，

由（1）可知，△ABD≌△ACE，

∴∠ADB=∠AEC=90°，BD=CE= ，

∴∠ADP=∠DAE=∠AEP=90°，

∴四邊形AEPD是矩形，

∴PD=AE=1，

∴PB=BD﹣PD= ﹣1．

b、如圖5中，以A為圓心AD為半徑畫圓，當CE在⊙A上方與⊙A相切時，PB的值最大．

理由：此時∠BCE最大，因此PB最大，（△PBC是直角三角形，斜邊BC為定值，∠BCE最大，因此PB最大）

∵AE⊥EC，

∴EC= = = ，

由（1）可知，△ABD≌△ACE，

∴∠ADB=∠AEC=90°，BD=CE= ，

∴∠ADP=∠DAE=∠AEP=90°，

∴四邊形AEPD是矩形，

∴PD=AE=1，

∴PB=BD+PD= +1．

綜上所述，PB長的最小值是 ﹣1，最大值是 +1


【解析】（1）欲證明BD=CE，只要證明△ABD≌△ACE即可．（2）①分兩種情形a、如圖2中，當點E在AB上時，BE=AB﹣AE=1．由△PEB∽△AEC，得 = ，由此即可解決問題．b、如圖3中，當點E在BA延長線上時，BE=3．解法類似．②a、如圖4中，以A為圓心AD為半徑畫圓，當CE在⊙A下方與⊙A相切時，PB的值最�。産、如圖5中，以A為圓心AD為半徑畫圓，當CE在⊙A上方與⊙A相切時，PB的值最大．分別求出PB即可．

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，直線y=﹣3x+3與x軸交于點B，與y軸交于點A，以線段AB為邊，在第一象限內(nèi)作正方形ABCD，點C落在雙曲線y= （k≠0）上，將正方形ABCD沿x軸負方向平移a個單位長度，使點D恰好落在雙曲線y= （k≠0）上的點D1處，則a= ．

查看答案和解析>>

科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】一個不透明的袋子里裝著質(zhì)地、大小都相同的3個紅球和2個綠球，隨機從中摸出一球，不再放回袋中，充分攪勻后再隨機摸出一球．兩次都摸到紅球的概率是（ ）
A.
B.
C.
D.

查看答案和解析>>

科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某校為了解九年級學生體育測試情況，以九年級（1）班學生的體育測試成績?yōu)闃颖�，按A，B，C，D四個等級進行統(tǒng)計，并將統(tǒng)計結(jié)果繪制成如下的統(tǒng)計圖，請你結(jié)合圖中所給信息解答下列問題：
（說明：A級：90分～100分；B級：75分～89分；C級：60分～74分；D級：60分以下）
（1）九年級（1）班體育測試的人數(shù)為；
（2）請把條形統(tǒng)計圖補充完整；
（3）扇形統(tǒng)計圖中A級所在的扇形的圓心角度數(shù)是；
（4）若該校九年級有500名學生，請你用此樣本估計體育測試中A級和B級的學生人數(shù)約為多少人？

查看答案和解析>>

科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，已知直線AB：y=x+分別交x軸、y軸于點B、A兩點,C（3，0），D、E分別為線段AO和線段AC上一動點，BE交y軸于點H,且AD＝CE．當BD＋BE的值最小時，則H點的坐標為（ ）

A. （0，4） B. （0，5） C. （0，） D. （0，）

查看答案和解析>>

科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，將矩形紙片ABCD中折疊，使頂點B落在邊AD的E點上折痕FG交BC于G，交AB于F，若∠AEF=20°，則∠FGB的度數(shù)為（ ）
A.25°
B.30°
C.35°
D.40°

查看答案和解析>>

科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在一條南北方向的公路上，有一輛出租車停在A地，乘車的第一位客人向南走3千米下車；該車繼續(xù)向南開，又走了2千米后，上來第二位客人，第二位客人乘車向北走7千米下車，此時恰好有第三位客人上車，先向北走3千米，又調(diào)頭向南走，結(jié)果下車時出租車恰好到了A地．

（1）如果以A地為原點，向北方向為正方向，用1個單位表示1千米，在數(shù)軸上表示出第一位客人和第二位客人下車的位置；

（2）第三位客人乘車走了多少千米？

（3）規(guī)定出租車的收費標準是4千米內(nèi)付7元，超過4千米的部分每千米加付1元（不足1千米按1千米算），那么該出租車司機在這三位客人中共收了多少錢？

查看答案和解析>>

科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】一輛貨車從百貨大樓出發(fā)負責送貨，向東走了 5 千米到達小明家，繼續(xù)向東走了 1.5 千米到達小紅家，然后向西走了 9.5 千米到達小剛家，最后返回百貨大樓．

（1）以百貨大樓為原點，向東為正方向，1 個單位長度表示 1 千米，請你在數(shù)軸上標出小明、小紅、小剛家的位置．（小明家用點 A 表示，小紅家用點 B 表示，小剛家用點 C 表示）

（2）小明家與小剛家相距多遠？

（3）若貨車每千米耗油 0.6 升，那么這輛貨車此次送貨共耗油多少升？

查看答案和解析>>

科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】解方程：（1）7（2x–1）–3（4x–1）=4（3x+2）–1；

（2）.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案