（2013•昌平區(qū)一模）已知函數(shù)f（x）=（2
3
sinx-2cosx）•cosx+1．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在區(qū)間[
π
4
，
π
2
]上的最值．
分析：（Ⅰ）利用三角恒等變換化簡函數(shù)f（x）的解析式為 2sin（2x-
π
6
），再根據(jù)三角函數(shù)的周期性求得f（x）的最小正周期．
（II）由 x∈[
π
4
，
π
2
]，可得 2x-
π
6
∈[
π
3
，
5π
6
]，再由正弦函數(shù)的定義域和值域求得函數(shù)的最值．
解答：解：（Ⅰ）因為函數(shù)f（x）=（2
3
sinx-2cosx）•cosx+1=
3
sin2x-cos2x=2sin（2x-
π
6
）．…（5分）
所以，f（x）的最小正周期 T=
2π
2
=π．…（7分）
（II）由 x∈[
π
4
，
π
2
]，可得 2x-
π
6
∈[
π
3
，
5π
6
]，…..（9分）
當(dāng)2x-
π
6
=
5π
6
 時，函數(shù)f（x）取得最小值為1，…．（11分）
當(dāng)2x-
π
6
=
π
2
時，函數(shù)f（x）取得最大值為2．…．（13分）
點評：本題主要考查三角恒等變換及化簡求值，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•昌平區(qū)一模）復(fù)數(shù)
2i
1-i
的虛部是（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•昌平區(qū)一模）已知函數(shù)f（x）=
1
3
x3-a2x+
1
2
a（a∈R）．
（Ⅰ）若a=1，求函數(shù)f（x）在[0，2]上的最大值；
（Ⅱ）若對任意x∈（0，+∞），有f（x）＞0恒成立，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•昌平區(qū)一模）設(shè)定義域為R的函數(shù)f（x）滿足以下條件；則以下不等式一定成立的是（　　）
（1）對任意x∈R，f（x）+f（-x）=0；
（2）對任意x1，x2∈[1，a]，當(dāng)x2＞x1時，有f（x2）＞f（x1）．
①f（a）＞f（0）
②f（
1+a
2
）＞f（
a
）
③f（
1-3a
1+a
）＞f（-3）
④f（
1-3a
1+a
）＞f（-a）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•昌平區(qū)一模）為了解甲、乙兩廠的產(chǎn)品的質(zhì)量，從兩廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取各10件，測量產(chǎn)品中某種元素的含量（單位：毫克）．下表是測量數(shù)據(jù)的莖葉圖：
規(guī)定：當(dāng)產(chǎn)品中的此種元素含量滿足≥18毫克時，該產(chǎn)品為優(yōu)等品．
（Ⅰ）試用上述樣本數(shù)據(jù)估計甲、乙兩廠生產(chǎn)的優(yōu)等品率；
（Ⅱ）從乙廠抽出的上述10件產(chǎn)品中，隨機(jī)抽取3件，求抽到的3件產(chǎn)品中優(yōu)等品數(shù)ξ的分布列及其數(shù)學(xué)期望E（ξ）；
（Ⅲ）從上述樣品中，各隨機(jī)抽取3件，逐一選取，取后有放回，求抽到的優(yōu)等品數(shù)甲廠恰比乙廠多2件的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•昌平區(qū)一模）已知橢圓M的對稱軸為坐標(biāo)軸，離心率為
2
2
，且拋物線y2=4
2
x的焦點是橢圓M的一個焦點．
（Ⅰ）求橢圓M的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l與橢圓M相交于A、B兩點，以線段OA，OB為鄰邊作平行四邊形OAPB，其中點P在橢圓M上，O為坐標(biāo)原點．求點O到直線l的距離的最小值．

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