Question

（2013•昌平區(qū)一模）為了解甲、乙兩廠的產(chǎn)品的質(zhì)量，從兩廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取各10件，測(cè)量產(chǎn)品中某種元素的含量（單位：毫克）．下表是測(cè)量數(shù)據(jù)的莖葉圖：
規(guī)定：當(dāng)產(chǎn)品中的此種元素含量滿足≥18毫克時(shí)，該產(chǎn)品為優(yōu)等品．
（Ⅰ）試用上述樣本數(shù)據(jù)估計(jì)甲、乙兩廠生產(chǎn)的優(yōu)等品率；
（Ⅱ）從乙廠抽出的上述10件產(chǎn)品中，隨機(jī)抽取3件，求抽到的3件產(chǎn)品中優(yōu)等品數(shù)ξ的分布列及其數(shù)學(xué)期望E（ξ）；
（Ⅲ）從上述樣品中，各隨機(jī)抽取3件，逐一選取，取后有放回，求抽到的優(yōu)等品數(shù)甲廠恰比乙廠多2件的概率．

Answer 1

分析：（I）算出甲廠抽取的樣本中優(yōu)等品有6件，從而得出優(yōu)等品率即可．
（II）ξ的所有可能取值為0，1，2，3．由古典概型分別求概率，得到ξ的分布列，再求期望即可．
（III）抽取的優(yōu)等品數(shù)甲廠恰比乙廠多2件包括2個(gè)事件，即A=“抽取的優(yōu)等品數(shù)甲廠2件，乙廠0件”，B=“抽取的優(yōu)等品數(shù)甲廠3件，乙廠1件”，分別計(jì)算出它們的概率，再利用概率的加法公式得到抽取的優(yōu)等品數(shù)甲廠恰比乙廠多2件的概率即可．

解答：解：（I）甲廠抽取的樣本中優(yōu)等品有6件，優(yōu)等品率為

6

10

=

3

5

乙廠抽取的樣本中優(yōu)等品有5件，優(yōu)等品率為

5

10

=

1

2

…..（2分）
（II）ξ的取值為0，1，2，3．
P（ξ=0）=

C 0 5 C 3 5

C 3 10

=

1

12

，P（ξ=1）=

C 1 5 C 2 5

C 3 10

=

5

12

，
P（ξ=2）=

C 2 5 C 1 5

C 3 10

=

5

12

，P（ξ=3）=

C 3 5

C 3 10

=

1

12

．
所以ξ的分布列為

ξ	0	1	2	3
P	1 12	5 12	5 12	1 12

故Eξ=0×

1

12

+1×

5

12

+2×

5

12

+3×

1

12

=

3

2

…（9分）
（III） 抽取的優(yōu)等品數(shù)甲廠恰比乙廠多2件包括2個(gè)事件，即A=“抽取的優(yōu)等品數(shù)甲廠2件，乙廠0件”，B=“抽取的優(yōu)等品數(shù)甲廠3件，乙廠1件”P（A）=C

2 3

(

3

5

)2(

2

5

) ×C

0 3

(

1

2

)0(

1

2

)3=

27

500

P（B）=C

3 3

(

3

5

)3×C

1 3

(

1

2

)1(

1

2

)2=

81

1000

抽取的優(yōu)等品數(shù)甲廠恰比乙廠多2件的概率為P（A）+P（B）=

27

200

．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查莖葉圖、樣本估計(jì)總體、離散型隨機(jī)變量的分布列和期望等知識(shí)，考查利用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力．