Question

2．圓柱形容器中盛有水，將一質(zhì)量為0.8kg的正方體物塊放入容器中，液面上升了1cm．此時正方體物塊有一半露出水面．（已知容器的橫截面積與正方體橫截之比為5：1，g取10N/kg，容器壁厚不計．）求：
（1）物塊的邊長．
（2）物塊的密度．
（3）若再緩緩向容器中注入水，至少需要加多少水，才能使物塊對容器底的壓強為零？

Answer 1

分析 （1）容器內(nèi)水的體積加上正方體物塊一半的體積等于后來水的深度乘以容器的底面積，據(jù)此求出正方體的邊長；
（2）根據(jù)求得的物塊的邊長可求體積，已知質(zhì)量，利用ρ=$\frac{m}{V}$可求物塊的密度；
（3）物塊對容器底的壓強為零時，處于漂浮狀態(tài)，受到的浮力和自身的重力相等，根據(jù)阿基米德原理求出排開水的體積，根據(jù)V=Sh求出液面上升的高度，進一步求出需加的水的體積，然后可求水的質(zhì)量．

解答 解：（1）設容器的橫截面積為S₂，正方體的橫截面積為S₁，正方體的邊長為a，容器內(nèi)水的深度為h_水，放入物體后的深度（h_水+1cm），則
h_水S₂+$\frac{1}{2}$a×S₁=（h_水+1cm）S₂，
整理可得：
a=$\frac{2{S}_{2}}{{S}_{1}}$×1cm=$\frac{2×5{S}_{1}}{{S}_{1}}$×1cm=10cm，
（2）物塊的體積V=a³=（10cm）³=1.0×10³m³，
物塊的密度ρ=$\frac{m}{V}$=$\frac{0.8kg}{1.0×1{0}^{3}{m}^{3}}$=0.8×10³kg/m³；
（3）物塊對容器底的壓強為零時，處于漂浮狀態(tài)，
則F_浮=G=mg=0.8kg×10N/kg=8N，
物塊排開水的體積：
V_排=$\frac{{F}_{浮}}{{ρ}_{水}g}$=$\frac{8N}{1.0×1{0}^{3}kg/{m}^{3}×10N/kg}$=8×10^-4m³，
液面上升的高度：
△h=$\frac{{V}_{排}}{{S}_{1}}$-$\frac{a}{2}$=$\frac{8×1{0}^{-4}{m}^{3}}{0.01{m}^{2}}$-$\frac{10cm}{2}$=0.08m-5cm=8cm-5cm=3cm，
需加的水的體積：
V_水=（S₂-S₁）△h=（5S₁-S₁）△h=4S₁△h=4×100cm²×3cm=1200cm³=1.2×10^-3m³，
由ρ=$\frac{m}{V}$可得，需要加水的質(zhì)量m_水=ρ_水V_水=1.0×10³kg/m³×1.2×10^-3m³=1.2kg．
答：（1）物塊的邊長為10cm；
（2）物塊的密度為0.8×10³kg/m³；
（3）若再緩緩向容器中注入水，至少需要加1.2kg水，才能使物塊對容器底的壓強為零．

點評 本題考查了壓強和液體體積的計算，涉及到阿基米德原理和壓強公式、重力公式的應用，要注意物塊對容器底的壓強為零時可認為物塊沒離開容器的底部．