Question

17．如圖（a）所示，輕質(zhì)薄壁圓柱形容器甲置于水平地面，底面積為3S，容器高0.25米，內(nèi)盛0.15米深的水．
（1）若容器的底面積為5×10^-2米²，求容器中水的質(zhì)量m．
（2）求0.05米深處水的壓強p．
（3）現(xiàn)有面積為S、密度為6ρ_水圓柱體乙，如圖（b）所示，在乙上方沿水平方向切去高為△h的部分A（△h＜0.3米），將A放入容器甲中（A與甲底部沒有密合），并將此時的容器置于剩余圓柱體B的上方中央．
（a）若要使水對容器底部的壓強p_水最大，求切去部分A高度的最小值△h_小．
（b）求此時水對容器底部的壓強p_水與地面受到的壓強p_地的比值$\frac{{p}_{水}}{{p}_{地}}$．

Answer 1

分析 （1）知道容器底面積和水深，求出水的體積，再利用m=ρV求水的質(zhì)量；
（2）知道深度，利用p=ρgh求水的壓強；
（3）①若要使水對容器底部的壓強p_水最大，需要水深最大，并且水不溢出，可求排開水的體積，即A的最小體積，進而求出△h最小值；
②水對容器底部的壓強最大壓強：p_水=ρgh=0.25m×ρ_水g；
地面受到的最小壓力時，就是排出最多的水時，當A的高度大于容器的高就可以溢出最多的水，溢出水的體積等于容器的容積減去原來水的體積，則地面受到的最小壓力等于乙的重力加上水的重力再減去溢出水的重，利用壓強公式求出地面受到的最小壓強，進而求出水對容器底部的壓強p_水與地面受到的壓強p_地的比值，此時最大．

解答 解：
（1）水的體積V=Sh=5×10^-2m²×0.15m=7.5×10^-3m³，
由ρ=$\frac{m}{V}$得容器中水的質(zhì)量：
m=ρV=1×10³kg/m³×7.5×10^-3m³=7.5kg；
（2）0.05米深處水的壓強：
p=ρgh=1×10³kg/m³×9.8N/kg×0.05m=49Pa；
（3）①若要使水對容器底部的壓強p_水最大，需要水深最大，排開水的體積：
V_排=（0.25m-0.15m）×5×10^-2m²=5×10^-3m³，
則A的最小體積
V_A=V_排=5×10^-3m³，
△h最小值：△h_最小=$\frac{{V}_{A}}{S}$=$\frac{5×1{0}^{-3}{m}^{3}}{\frac{5×1{0}^{-2}{m}^{2}}{3}}$=0.3m=30cm；
②水對容器底部的壓強最大壓強：
p_水=ρgh=0.25mρ_水g；
當0.3m＞△h≥0.25m時溢出的水最多、地面受到的壓力最小，地面受到的壓強最小：
p_地=$\frac{F}{S}$=$\frac{{G}_{乙}+{G}_{水}-{G}_{溢}}{S}$=$\frac{6{ρ}_{水}S×0.3m×g+{ρ}_{水}3S×0.15m×g-{ρ}_{水}×g（S×0.25m-3S×0.1m）}{S}$=2.2mρ_水g，
p_水：p_地=0.25m×ρ_水g：2.2m×ρ_水g=5：44=$\frac{5}{44}$．
答：（1）容器中水的質(zhì)量為7.5kg；
（2）0.05米深處水的壓強為490Pa；
（3）①切去部分A高度的最小值為30cm；
②切去部分A高度0.3m＞△h≥0.2m，比值為$\frac{5}{44}$．

點評 本題為力學綜合題，考查了學生對重力公式、密度公式、液體壓強公式、壓強定義式的掌握和運用，本題難點在求溢出水的重力及切去部分A高度△h的范圍求解，屬于難題！