Question

15．在一個側(cè)面帶有排水管的圓柱形容器內(nèi)裝有一定質(zhì)量的水（水的密度為ρ_水），將一個高為h₀、橫截面積為s₁的圓柱形實心塑料塊掛在彈簧測力計下，當塑料塊浸入水中的深度為h₁時，彈簧測力計的示數(shù)恰好為零；如圖所示．已知在彈性限度內(nèi)，彈簧的伸長與受到的拉力成正比，彈簧受到G₀的拉力時伸長l₀（在彈性限度內(nèi)）；若容器的底面積為S₂．從排水管中放出一定質(zhì)量的水后，塑料塊底面剛好與水面相平．請你通過推導計算，回答下列問題：
①實心塑料塊的密度是多少？
②從排水管中放出水的質(zhì)量是多少？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)塑料塊浸入水中的深度為h₁時，可求得其浮力，然后根據(jù)彈簧測力計的示數(shù)恰好為零，可求得其重力，由此可求得其質(zhì)量，然后利用密度公式可求得其密度；
（2）求得塑料塊的重力，塑料塊底面剛好與水平面相平時，根據(jù)彈簧的伸長與受到的拉力成正比，得到彈簧伸長的長度，也就是塑料塊下降的高度，已知原來塑料塊浸入水中的深度，可以這樣假設(shè)，水被放出時，塑料塊一直不動，隨著水剛好和塑料塊底面相平時，水和塑料塊再集體下降相同的高度．
已知容器底面積，水的體積=塑料塊周圍水的體積+水液面下降的體積，列等式求解．

解答 解：
（1）塑料塊的體積V=s₁h₀，
當塑料塊浸入h₁，塑料排開水的體積V_排=s₁h₁，
塑料塊所受的浮力F_浮=ρgV_排=ρ_水gs₁h₁，
由此時彈簧測力計的示數(shù)恰好為零，可知塑料塊的重力G=ρ_水gs₁h₁，
則塑料的質(zhì)量m=$\frac{G}{g}$=$\frac{{ρ}_{水}{{gs}_{1}h}_{1}}{g}$=ρ_水s₁h₁，
則塑料塊的密度ρ=$\frac{m}{V}$=$\frac{{{{ρ}_{水}s}_{1}h}_{1}}{{{s}_{1}h}_{0}}$=$\frac{{h}_{1}}{{h}_{0}}•{ρ}_{水}$；
（2）設(shè)彈簧伸長的長度為l₁，
則塑料塊下降的長度為l₁′=l₁=$\frac{{Gl}_{0}}{{G}_{0}}$，
設(shè)排出水的質(zhì)量為m，水的體積=塑料塊周圍水的體積+水液面下降$\frac{{Gl}_{0}}{{G}_{0}}$的體積，
則（s₂-s₁）h₁+$\frac{{{ρ}_{水}g{s}_{1}{h}_{1}l}_{0}}{{G}_{0}}$s₂=$\frac{m}{{ρ}_{水}}$，
解得m=$\frac{{{{{G}_{0}{{（s}_{2}-s}_{1}）h}_{1}+{ρ}_{水}g{s}_{1}{h}_{1}l}_{0}{s}_{2}}_{\;}}{{G}_{0}}$•ρ_水．
答：
①實心塑料塊的密度為$\frac{{h}_{1}}{{h}_{0}}•{ρ}_{水}$；
②排出水的質(zhì)量為$\frac{{{{{G}_{0}{{（s}_{2}-s}_{1}）h}_{1}+{ρ}_{水}g{s}_{1}{h}_{1}l}_{0}{s}_{2}}_{\;}}{{G}_{0}}$•ρ_水．

點評 本題考查了密度公式和重力公式、浮力公式的計算，關(guān)鍵是知道塑料塊的重力等于當塑料塊底面剛好接觸水面時的示數(shù)，計算過程要注意單位的換算．