Question

7．如圖所示．底面積為S的圓柱形薄壁容器內(nèi)裝有密度為ρ的液體．密度為ρ₀、橫截面積為S₀、高度為h₀的圓柱形物塊由一段非彈性細(xì)線與天花板相連，且部分浸入液體中，細(xì)線剛好被拉直．打開容器底部的抽液機(jī)勻速向外排液，若細(xì)線能承受的最大拉力為T，當(dāng)細(xì)線上拉力為T時，停止排液．請解答下列問題：

（1）細(xì)線剛好被拉直，物塊浸入液體中的深度；
（2）推導(dǎo)出細(xì)線被拉斷前．細(xì)線對物塊拉力F與抽液機(jī)排出的液體質(zhì)量m之間的關(guān)系式；
（3）在圖乙中，定性畫出物體所受浮力與抽液機(jī)排出的液體質(zhì)量m變化關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）細(xì)線剛好被拉直，則物塊不受拉力作用，此時有G=F_浮，根據(jù)G=mg、ρ=$\frac{m}{V}$表示出重力，根據(jù)阿基米德原理表示出浮力，聯(lián)立求解即可得出答案；
（2）設(shè)抽液機(jī)排出的液體質(zhì)量m，容器內(nèi)液面下降的高度為h′，則下降部分的液體的體積為V′=（S-S₀）h′，由此得出h′的表達(dá)式，
根據(jù)細(xì)線被拉斷前，細(xì)線對物塊的拉力等于重力與浮力之差得出細(xì)線對木塊拉力F與抽液機(jī)排出的液體質(zhì)量m之間的關(guān)系式；
（3）物塊排開液體的質(zhì)量越多，排開液體的體積越多，根據(jù)F_浮=ρ_液gV_排可知，所受浮力越小，據(jù)此畫出物體所受浮力與抽液機(jī)排出的液體質(zhì)量m變化關(guān)系圖象．

解答 解：（1）圓柱體物塊的體積：V₀=S₀h₀，
圓柱體物塊的質(zhì)量：m₀=ρ₀V₀=ρ₀S₀h₀，
圓柱體物塊的重力：G=m₀g=ρ₀S₀h₀g，
設(shè)物塊浸入液體中的深度為h，細(xì)線剛好被拉直，
此時物塊不受拉力作用，物塊漂浮時受力情況如圖所示：

所以有G=F_浮．
則圓柱形物塊排開液體的體積：V_排=S₀h，
根據(jù)阿基米德原理可知，圓柱形物塊受到的浮力：F_浮=ρ_液gV_排=ρS₀hg，
則有：ρ₀S₀h₀g=ρS₀hg，
所以物塊浸入液體中的深度：h=$\frac{{ρ}_{0}{S}_{0}{h}_{0}g}{ρ{S}_{0}g}$=$\frac{{ρ}_{0}{h}_{0}}{ρ}$．
（2）設(shè)抽液機(jī)排出的液體質(zhì)量m，容器內(nèi)液面下降的高度為h′，
則下降部分的液體的體積：V′=（S-S₀）h′，
根據(jù)$ρ=\frac{m}{V}$可得，V′=$\frac{m}{ρ}$=（S-S₀）h′，
解得液面下降的高度：h′=$\frac{m}{ρ（S-{S}_{0}）}$，
細(xì)線被拉斷前，受力分析如圖所示：

則細(xì)線對物塊的拉力等于重力與浮力之差，即：
F=G-F_浮′=ρ₀S₀h₀g-ρS₀g（h-h′）=ρ₀S₀h₀g-ρS₀g[$\frac{{ρ}_{0}{h}_{0}}{ρ}$-$\frac{m}{ρ（S-{S}_{0}）}$]=$\frac{g{S}_{0}}{S-{S}_{0}}$m．
（3）由（2）可知，細(xì)線被拉斷前圓柱體所受的浮力：
F_浮′=G-F=ρ₀S₀h₀g-$\frac{g{S}_{0}}{S-{S}_{0}}$m，
設(shè)橫軸表示抽液機(jī)排出的液體質(zhì)量，縱軸表示物體所受浮力，
抽液機(jī)剛開始抽液時，即當(dāng)m=0時，物塊不受拉力作用，圓柱體物塊處于漂浮狀態(tài)，
此時F_浮′=G=ρ₀gS₀h₀；
由（2）可知，細(xì)線對物塊拉力F與抽液機(jī)排出的液體質(zhì)量m之間的關(guān)系式：
F=$\frac{g{S}_{0}}{S-{S}_{0}}$m，
當(dāng)細(xì)線上拉力為T時，停止排液，
則T=$\frac{g{S}_{0}}{S-{S}_{0}}$m，
此時抽液機(jī)排出的液體質(zhì)量：
m=$\frac{T（S-{S}_{0}）}{g{S}_{0}}$，
此時物塊受到的浮力：F_浮′=G-T=ρ₀gS₀h₀-T，
則物體所受浮力與抽液機(jī)排出的液體質(zhì)量m變化關(guān)系如圖所示：

答：（1）細(xì)線剛好被拉直，物塊浸入液體中的深度為$\frac{{ρ}_{0}{h}_{0}}{ρ}$；
（2）細(xì)線對木塊拉力F與抽液機(jī)排出的液體質(zhì)量m之間的關(guān)系式為F=$\frac{g{S}_{0}}{S-{S}_{0}}$m；
（3）物體所受浮力與抽液機(jī)排出的液體質(zhì)量m變化關(guān)系見解答圖．

點(diǎn)評 此題考查重力的計算、阿基米德原理、二力平衡條件的應(yīng)用，關(guān)鍵是明白細(xì)線剛好被拉直時物塊不受拉力作用，難點(diǎn)是得出容器內(nèi)液面下降的高度的表達(dá)式及圖象的關(guān)鍵點(diǎn)，其推導(dǎo)過程相當(dāng)復(fù)雜，同學(xué)們一定要細(xì)心．