Question

小王同學(xué)為了測量積雪的密度，設(shè)計了“根據(jù)雪地上的腳印深度進行估測”的方法。他采用的方法是：利用一塊平整地面上的積雪，用腳豎直向下踩在雪上，形成一個向下凹的腳印。然后通過測量積雪原來的厚度H，用腳踩后在雪上形成腳印的深度h，就可以估測雪的密度。

（1）請通過推導(dǎo)得出雪的密度的計算表達式。

（2）大雪過后，會造成路面積雪和積水，危及交通安全。為了盡快消除路面積水，可以通過撒鹽和鋪設(shè)防滑物以及組織掃雪等措施。

鹽的濃度/（%）	0	5	10	15	20
凝固溫度/°C	0	－3	－7.5	－12	－17

上表反映的是鹽的濃度與凝固溫度之間的關(guān)系，利用這一表格，請你估計當橋面上積水的厚度達到2 cm，環(huán)境溫度為－3°C時，撒鹽車應(yīng)在每平方米的冰面上撒多少鹽才能去除橋面上的積水？

（3）雪地車在松軟的雪地上行駛時，所受阻力主要源于履帶或車輪與雪層的擠壓。某型號的履帶式雪地車的每根履帶寬為d，空載時與雪地接觸的壓強為p₀。

①當雪地車以速度v在雪地上勻速行駛時，在雪層上造成的雪溝深度為h。試估算此時雪地車克服雪層阻力做功的功率P。

②假設(shè)雪地車擠壓雪層形成的雪溝深度與壓強成正比。當雪地車所載貨物的重力為雪地車空載時自重的1/4，則仍以功率P在雪地上勻速行駛時的速度為多大？

Answer 1

（1）雪被踩前后，質(zhì)量和腳印的面積是不變的。已知雪的深度和腳印的深度，可以知道踩實后的冰的深度；根據(jù)雪的深度、冰的深度和腳印的深度，可以得到雪和冰的體積；雪和冰質(zhì)量不變，根據(jù)m=ρV得到雪和冰密度、體積等量關(guān)系式，最后得出雪的密度表達式。

（2）已知冰雪的凝固溫度和對應(yīng)的鹽水濃度，只要得出此時每平方米水的質(zhì)量就能得出需要的食鹽的質(zhì)量。

（3）（a）已知雪地車在雪地上的速度，可以知道在一定時間內(nèi)行駛的距離；已知履帶的寬度和行駛的距離，可以知道雪地車碾過雪地的面積；已知雪地車對雪地的壓強和碾過雪地的面積，可以得到雪地車對雪地的壓力；已知對雪地的壓力和雪溝深度，可以得到雪地車對雪地所做的功；最后利用P=w/t，得出克服雪地阻力的功率。

（b）在車輪與雪地接觸面積一定時，雪地車對雪地的壓強與物重成正比，所以壓強增大的程度與車重增加的程度相同；根據(jù)前后兩次功率一定列出方程，就能得出此時的速度。

參考答案：

解：（1）雪被踩后成為冰，密度是0.9g/cm³

設(shè)腳印的面積為S，則

雪的體積V_雪=SH，冰的體積V_冰=S（H-h）

根據(jù)密度公式ρ=m/v得

（2）由表格知：-3°C時應(yīng)撒鹽的濃度為5%，

設(shè)每平方米的水的質(zhì)量為m，則有

m =ρ_水V_水 = 10³kg/m³×1m²×0.02m = 20kg

所以撒鹽的質(zhì)量為m_鹽=20kg×5%=1kg

（3）（a）設(shè)雪地車在雪地行駛的時間為t

則t時間內(nèi)前進的距離L=vt

壓下雪的面積S=L2d=2vtd

壓力做功W=Fh=pSh=p₀×2vtd×h=2p₀vtdh

所以功率  

（b）已知重力增加1/4，所以雪地車對雪地的壓強增大1/4。雪地車克服雪地阻力的功率一定，設(shè)此時雪地車行駛的速度為v′。

根據(jù)題意得

解得

答：（1）雪的密度表達式為；

（2）每平方米需撒鹽1kg；

（3）（a）雪地車克服阻力的功率為2dp₀hv；

（b）雪地車仍以功率P在雪地上勻速行駛時的速度為。