Question

已知球體的體積公式是v=

4

3

πr³，其中r為球體的半徑．如圖11所示，在一個(gè)大的空心球腔內(nèi)放有一實(shí)心小球，空心球腔和實(shí)心小球是由同一種物質(zhì)組成的．空心球腔的外半徑為R，內(nèi)半徑為

2R

3

，實(shí)心小球的半徑為

R

3

．若將整個(gè)球體放入水中，則空心球腔有

1

3

的體積露出水面．求：
（1）制成空心球腔和實(shí)心小球的物質(zhì)的密度；
（2）若在空心球腔內(nèi)注滿(mǎn)水后，再把整個(gè)球體放入水中，整個(gè)球體浮出水面的體積和空心球腔壁對(duì)實(shí)心小球的作用力．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)“球體的體積公式是v=

4

3

πr³”，可分別求出球腔實(shí)心部分的體積和實(shí)心小球的體積，然后可得其質(zhì)量表達(dá)式，因?yàn)榭招那蚱�浮在水面上，所以利用�?SUB>水gV_排=Mg即可求出物質(zhì)的密度．
（2）求出空腔內(nèi)注水質(zhì)量m，然后可知注滿(mǎn)水的球腔和小秋的總質(zhì)量M^′，從而可知球腔一體仍然是漂浮，然后可知排開(kāi)水的體積

V

′ 排

和露出水面的體積，因小球平衡，因此在求腔內(nèi)會(huì)受到球腔對(duì)其向下的壓力F=F_浮=mg即可．

解答：解：由“空心球腔的外半徑為R”，空心球腔的體積為V=

4

3

πR³，球腔實(shí)心部分的體積V₁=

4

3

π[R³-(

2R

3

)3]=

76πR3

81

，
實(shí)心小球的體積V₂=

4

3

π(

R

3

)3=

4πR3

81

所以他們的質(zhì)量M=ρ（V₁+V₂）=

ρ80πR3

81

…①，
已知“若將整個(gè)球體放入水中，則空心球腔有

1

3

的體積露出水面”，則漂浮在水中排開(kāi)水的體積V_排=

2

3

V=

8

9

πR³…②，
因?yàn)榭招那蚱�浮在水面上，所以�?SUB>水gV_排=Mg…③，
將①②代入③得ρ=900kg/m³．
答：制成空心球腔和實(shí)心小球的物質(zhì)的密度為900kg/m³．
（2）空腔內(nèi)注水質(zhì)量m=ρ_水

4

3

π[(

2R

3

)3-(

R

3

)3]=

28ρ水πR3

81

，
所以注滿(mǎn)水的球腔和小球的總質(zhì)量
M^′=M+m=

ρ80πR3

81

+

28ρ水πR3

81

=

900kg/m3×80πR3

81

+

1000kg/m3×28πR3

81

=

100000πR3

81

M^′=

72ρ水πR3

81

+

28ρ水πR3

81

=

100

81

ρ_水πR³＜

4

3

ρ_水πR³，
所以球腔一體仍然是漂浮，則排開(kāi)水的體積

V

′ 排

=

M′

ρ水

=

100πR3

81

，
所以露出水面的體積為V-

V

′ 排

=

4

3

πR³-

100πR3

81

=

8πR3

81

（占球腔總體積的

2

27

），
小球平衡，因此在球腔內(nèi)會(huì)受到球腔對(duì)其向下的壓力F，
F=F_浮-mg=

ρ水g4πR3

81

-

ρg4πR3

81

=

1.0×103kg/m3×10N/kg×4πR3

81

-

900kg/m3×10N/kg×4πR3

81

=

4000πR3

81

．
答：整個(gè)球體浮出水面的體積為

8πR3

81

（占球腔總體積的

2

27

）；
空心球腔壁對(duì)實(shí)心小球的作用力為

4000πR3

81

．

點(diǎn)評(píng)：此題涉及到球的體積，密度公式的應(yīng)用，物體浮沉條件的應(yīng)用等多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，難度很大，而且計(jì)算過(guò)程非常繁瑣，稍一疏忽，就有可能出錯(cuò)，從而導(dǎo)致整個(gè)題錯(cuò)誤，因此解答此題不僅要細(xì)心，而且要有耐心，總之，此題屬于難題．