Question

17．如圖所示，將高為10cm的圓柱體甲放在水平地面上，細(xì)繩的一端系于圓柱體甲上表面的中央，另一端豎直拉著杠桿的A端，當(dāng)把質(zhì)量為800g的圓柱體乙懸掛在杠桿的B端并處于圓柱形容器M中時(shí)，且與容器M始終不接觸，杠桿在水平位置平衡，此時(shí)圓柱體甲對(duì)水平地面的壓強(qiáng)4200Pa，把質(zhì)量為900g的水注入容器M中，水未溢出，水靜止后，杠桿仍在水平位置平衡，且水對(duì)容器M底面的壓強(qiáng)為2500Pa，圓柱體甲對(duì)水平地面的壓強(qiáng)為7000Pa，已知容器M的底面積為50cm²，不計(jì)杠桿的質(zhì)量，g取10N/kg，求：
（1）乙所受的浮力
（2）甲物體的密度．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)水對(duì)容器M底面的壓強(qiáng)為2500Pa，利用壓強(qiáng)公式變形可求得容器M中水的深度；
（2）根據(jù)求出注水后水面的高度h₂，然后利用密度公式求出沒(méi)有物體浸沒(méi)在水中時(shí)水面的高度h₁，則乙物體排開(kāi)水的體積為V_排=（h₂-h₁）×S_容器；然后將其代入浮力公式解得乙物體受到的浮力，
（3）假設(shè)甲的密度為ρ_甲，底面積為S_甲；利用杠桿的平衡條件得出兩個(gè)關(guān)于ρ_甲、S_甲的方程，然后利用數(shù)學(xué)知識(shí)將S_甲消除，即可解得甲的密度．

解答 解：（1）設(shè)容器中只有水時(shí)水的深度為h₁，
由ρ=$\frac{m}{V}$和V=Sh可得：
h₁=$\frac{m}{ρ{S}_{容}}$=$\frac{0.9kg}{1.0×1{0}^{3}kg/{m}^{3}×0.005{m}^{2}}$=0.18m，
設(shè)乙物體浸在水中時(shí)水的深度為h₂，
由p=ρhg可得：
h₂=$\frac{p}{{ρ}_{水}g}$=$\frac{2500Pa}{1.0×1{0}^{3}kg/{m}^{3}×10N/kg}$=0.25m；
乙物體排開(kāi)水的體積為：V_排=（h₂-h₁）×S_容器=（0.25m-0.18m）×0.005m²=3.5×10^-4m³，
乙物體受到的浮力為：F_浮=ρ_水V_排g=1.0×10³kg/m³×3.5×10^-4m³×10N/kg=3.5N；
（2）乙的重力G_乙=m_乙g=0.8kg×10N/kg=8N，
對(duì)甲進(jìn)行受力分析，甲受向下的重力、向上的支持力、向上的拉力，
右邊容器沒(méi)有注水時(shí)，由杠桿的平衡條件可得F_甲L_甲=F_乙L_乙，
即：（G_甲-F_支）•L_甲=G_乙L_乙 --------①；
右邊容器注水后，根據(jù)杠桿的平衡條件可得（G_甲-F_支′）•L_甲=F₂L_乙，
即（G_甲-F_支′）•L_甲=（G_乙-F_浮）•L_乙 --------②
其中，F(xiàn)_支=F_壓=p_甲S_甲=4200Pa×S_甲，F(xiàn)_支′=F_壓′=p_甲′S_甲=7000Pa×S_甲，
由①÷②得：$\frac{{G}_{甲}-{F}_{支}}{{G}_{甲}-{F}_{支}^{′}}$=$\frac{{G}_{乙}}{{G}_{乙}-{F}_{浮}}$，
即$\frac{{G}_{甲}-4200Pa×{S}_{甲}}{{G}_{甲}-7000Pa{×S}_{甲}}$=$\frac{8N}{8N-3.5N}$--------③，
甲為圓柱體，根據(jù)G=ρVg=ρShg可將③式寫(xiě)為：
$\frac{{ρ}_{甲}•{S}_{甲}•{h}_{甲}•g-4200Pa•{S}_{甲}}{{ρ}_{甲}•{S}_{甲}•{h}_{甲}•g-7000Pa•{S}_{甲}}$=$\frac{8}{4.5}$，
代入數(shù)據(jù)可得：$\frac{{ρ}_{甲}×0.1m×10N/kg-4200Pa}{{ρ}_{甲}×0.1m×10N/kg-7000Pa}$=$\frac{8}{4.5}$，
解得ρ_甲=10.6×10³kg/m³．
答：（1）乙所受的浮力為3.5N；
（2）甲物體的密度為10.6×10³kg/m³．

點(diǎn)評(píng) 解答本題的關(guān)鍵點(diǎn)在于求解注水后乙物體對(duì)杠桿的力的大�。涸俑鶕�(jù)力的合成求出注水后乙物體對(duì)杠桿的力的大小．然后即可求得圓柱體甲的密度，此題難度較大，屬于難題．