如圖，圓O的直徑AC=8cm，直線l與圓相切于點A，P為圓的右半圓弧上的動點，PB⊥直線l于B，求△PAB面積的最大值．
分析：以直線l所在的直線為x軸，以AC所在的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，可得圓的方程為 x2+（y-4）2=16，（0＜y＜8）．設(shè)△PAB面積為S，則
S2=
1
4
x2•y2=2y3-
1
4
y4．利用導(dǎo)數(shù)求得S2的最大值，從而求得S的最大值．
解答：解：以直線l所在的直線為x軸，以AC所在的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，
則圓心O為（0，4），且半徑為4，
圓的方程為 x2+（y-4）2=16，（0＜y＜8）．
故△PAB面積為S=
1
2
•AB•BP=
1
2
xy，∴S2=
1
4
x2•y2=
1
4
[16-（y-4）2]y2=2y3-
1
4
y4．
由于函數(shù)S2的導(dǎo)數(shù)為 （S2）′=6y2-y3，令 （S2）′=6y2-y3=0，可得y=6，
故當(dāng)y=6時，S2取得最大值為108，故S的最大值為6
3
 （平方厘米）．
點評：本題主要考查求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
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