閱讀下列材料：
某同學(xué)在計(jì)算3（4+1）（4²+1）時(shí)，把4寫成4-1后，發(fā)現(xiàn)可以連續(xù)運(yùn)用平方差公式計(jì)算：3（4+1）（4²+1）=（4-1）（4+1）（4²+1）=（4²-1）（4²+1）=16²-1。很受啟發(fā)，后來在求（2+1）（2²+1）（2⁴+1）（2⁸+1）…（2²⁰⁰⁴+1）的值時(shí)，又改造此法，將乘積式前面乘以1，且把1寫為2-1得（2+1）（2²+1）（2⁴+1）（2⁸+1）…（2²⁰⁰⁴+1）=（2-1）（2+1）（2²+1）（2⁴+1）（2⁸+1）…（2²⁰⁰⁴+1）=（2²-1）（2²+1）（2⁴+1）（2⁸+1）…（2²⁰⁰⁴+1）=（2⁴-1）（2⁴+1）（2⁸+1）…（2²⁰⁰⁴+1）=…=（2²⁰⁰⁴-1）（2²⁰⁰⁴+1）=2⁴⁰⁰⁸-1。
回答下列問題：
（1）請(qǐng)借鑒該同學(xué)的經(jīng)驗(yàn)，計(jì)算：；
（2）借用上面的方法，再逆用平方差公式計(jì)算：
。

計(jì)算下列各題：
（1）（a-1）（a+1）=__________
         （a-1）（a²+a+1）=__________
         （a-1）（a³+a²+a+1）=_________
            ……
根據(jù)前面各式的規(guī)律，請(qǐng)你寫出：
（a-1）（aⁿ+a^n-1+a^n-2+…+a³+a²+a+1）=__________；
（2）利用（1）的結(jié)論，計(jì)算：
2⁹⁹+2⁹⁸+2⁹⁷+…+2²+2+1

讓我們輕松一下，做一個(gè)數(shù)字游戲。第一步：取一個(gè)自然數(shù)n₁=5，計(jì)算n₁²+1得a₁；第二步：算出a₁的各位數(shù)字之和得n₂，計(jì)算得n₂²+1得a₂；第三步：算出a₂的各位數(shù)字之和得n₃，計(jì)算n₃²+1得a₃；……依次類推：則a₂₀₀₈=（    ）。

表2是從表1中截取的一部分，則a=（    ）。

（1）有自然數(shù)列：0，1，2，3，4，5，6，…
①按順序從第2個(gè)數(shù)數(shù)到第6個(gè)數(shù)，共數(shù)了_________個(gè)數(shù)；
②按順序從第m個(gè)數(shù)數(shù)到第n個(gè)數(shù)，共數(shù)了________個(gè)數(shù);
（2）對(duì)于奇數(shù)數(shù)列：1，3，5，7，9，…
按順序從數(shù)3數(shù)到數(shù)19，共數(shù)了_________個(gè)數(shù)；
（3）對(duì)于整百數(shù)列：100，200，300，400，500，…
按順序從數(shù)500數(shù)到數(shù)2000，共數(shù)了__________個(gè)數(shù)。

試驗(yàn)與探究：我們知道分?jǐn)?shù)寫為小數(shù)即，反之，無限循環(huán)小數(shù)寫成分?jǐn)?shù)即。一般地，任何一個(gè)無限循環(huán)小數(shù)都可以寫成分?jǐn)?shù)形式�，F(xiàn)在就以為例進(jìn)行討論：設(shè)=x，由=0.7777…，可知，10x-x=7.777… -0.777… =7，即10x-x=7解方程得x=， 于是得，=。
請(qǐng)仿照上述例題完成下列各題：
（1）請(qǐng)你能把無限循環(huán)小數(shù)寫成分?jǐn)?shù)，即=_________；
（2）你能化無限循環(huán)小數(shù)為分?jǐn)?shù)嗎？請(qǐng)仿照上述例子求解之。

a是不為1的有理數(shù)，我們把稱為a的差倒數(shù)。如：2的差倒數(shù)是=-1，-1的差倒數(shù)是。已知a₁=-，a₂是a₁的差倒數(shù)，a₃是a₂的差倒數(shù)，a₄是a₃的差倒數(shù)，…，依此類推，a₂₀₁₁ 的差倒數(shù)=（    ）。

規(guī)律探求，觀察=2，即=2；=3，即=3。
（1）猜想等于什么，并通過計(jì)算驗(yàn)證你的猜想；
（2）寫出符合這一規(guī)律的一般等式。

閱讀下列解題過程：

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請(qǐng)回答下列問題：
（1）觀察上面的解題過程，請(qǐng)直接寫出式子_________；
（2）利用上面所提供的解法，請(qǐng)化簡
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設(shè)有k個(gè)自然數(shù)a₁，a₂，…，a_k滿足條件1≤a₁<a₂<…<a_k≤50，并且任意兩個(gè)數(shù)的和都不能被7整除，那么這些自然數(shù)的個(gè)數(shù)k最多為（    ）。