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【題目】如圖,在梯形ABCD中,AD∥BC,BC=BD=10,CD=4,AD=6.點P是線段BD上的動點,點E、Q分別是線段DA、BD上的點,且DE=DQ=BP,聯(lián)結(jié)EP、EQ.
(1)求證:EQ∥DC;
(2)如果△EPQ是以EQ為腰的等腰三角形,求線段BP的長;
(3)當BP=m(0<m<5)時,求∠PEQ的正切值.(用含m的式子表示)
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【題目】如圖,在平面直角坐標系xOy中,拋物線與x軸交于A、B兩點,與y軸交于點C,對稱軸為直線x=2,點A的坐標為(1,0).
(1)求該拋物線的表達式及頂點坐標;
(2)點P為拋物線上一點(不與點A重合),聯(lián)結(jié)PC.當∠PCB=∠ACB時,求點P的坐標;
(3)在(2)的條件下,將拋物線沿平行于軸的方向向下平移,平移后的拋物線的頂點為點D,點P關(guān)于x軸的對應(yīng)點為點Q,當OD⊥DQ時,求拋物線平移的距離.
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【題目】已知:如圖,在△ABC中,點D在邊BC上,AE∥BC,BE與AD、AC分別相交于點F、G, .
(1)求證:△CAD∽△CBG;
(2)聯(lián)結(jié)DG,求證:.
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【題目】水城門位于淀浦河和漕港河三叉口,是環(huán)城水系公園淀浦河夢蝶島區(qū)域重要的標志性景觀.在課外實踐活動中,某校九年級數(shù)學(xué)興趣小組決定測量該水城門的高.他們的操作方法如下:如圖,先在D處測得點A的仰角為20°,再往水城門的方向前進13米至C處,測得點A的仰角為31°(點D、C、B在一直線上),求該水城門AB的高.(精確到0.1米)
(參考數(shù)據(jù):sin20°≈0.34,cos20°≈0.94,tan20°≈0.36,sin31°≈0.52,cos31°≈0.86,tan31°≈0.60)
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【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90,AC=2,BC=3.點D為AC的中點,聯(lián)結(jié)BD,過點C作CG⊥BD,交AC的垂線AG于點G,GC分別交BA、BD于點F、E.
(1)求GA的長;
(2)求△AFC的面積.
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【題目】如圖,二次函數(shù)y=ax2+bx+ 的圖象經(jīng)過A(﹣1,0),B(3,0),與y軸相交于點C.點P為第一象限的拋物線上的一個動點,過點P分別做BC和x軸的垂線,交BC于點E和F,交x軸于點M和N.
(1)求這個二次函數(shù)的解析式;
(2)求線段PE最大值,并求出線段PE最大時點P的坐標;
(3)若S△PMN=3S△PEF時,求出點P的坐標.
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【題目】閱讀材料:各類方程的解法
求解一元一次方程,根據(jù)等式的基本性質(zhì),把方程轉(zhuǎn)化為x=a的形式.求解二元一次方程組,把它轉(zhuǎn)化為一元一次方程來解;類似的,求解三元一次方程組,把它轉(zhuǎn)化為解二元一次方程組.求解一元二次方程,把它轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程來解.求解分式方程,把它轉(zhuǎn)化為整式方程來解,由于“去分母”可能產(chǎn)生增根,所以解分式方程必須檢驗.各類方程的解法不盡相同,但是它們有一個共同的基本數(shù)學(xué)思想轉(zhuǎn)化,把未知轉(zhuǎn)化為已知.
用“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想,我們還可以解一些新的方程.例如,一元三次方程x3+x2-2x=0,可以通過因式分解把它轉(zhuǎn)化為x(x2+x-2)=0,解方程x=0和x2+x-2=0,可得方程x3+x2-2x=0的解.
(1)問題:方程x3+x2-2x=0的解是x1=0,x2= ,x3= ;
(2)拓展:用“轉(zhuǎn)化”思想求方程的解;
(3)應(yīng)用:如圖,已知矩形草坪ABCD的長AD=8m,寬AB=3m,小華把一根長為10m的繩子的一端固定在點B,沿草坪邊沿BA,AD走到點P處,把長繩PB段拉直并固定在點P,然后沿草坪邊沿PD、DC走到點C處,把長繩剩下的一段拉直,長繩的另一端恰好落在點C.求AP的長.
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【題目】如圖,等腰直角△ABC中,CA=CB,點E為△ABC外一點,CE=CA,且CD平分∠ACB交AE于D,且∠CDE=60°.
(1)求證:△CBE為等邊三角形;
(2)若AD=5,DE=7,求CD的長.
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【題目】某學(xué)校準備采購一批茶藝耗材和陶藝耗材.經(jīng)查詢,如果按照標價購買兩種耗材,當購買茶藝耗材的數(shù)量是陶藝耗材數(shù)量的2倍時,購買茶藝耗材共需要18000元,購買陶藝耗材共需要12000元,且一套陶藝耗材單價比一套茶藝耗材單價貴150元.
(1)求一套茶藝耗材、一套陶藝耗材的標價分別是多少元?
(2)學(xué)校計劃購買相同數(shù)量的茶藝耗材和陶藝耗材.商家告知,因為周年慶,茶藝耗材的單價在標價的基礎(chǔ)上降價2元,陶藝素材的單價在標價的基礎(chǔ)降價150元,該校決定增加采購數(shù)量,實際購買茶藝素材和陶藝素材的數(shù)量在原計劃基礎(chǔ)上分別增加了2.5%和,結(jié)果在結(jié)算時發(fā)現(xiàn),兩種耗材的總價相等,求的值.
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【題目】如圖,直線y=﹣x+1與x軸,y軸分別交于B,A兩點,動點P在線段AB上移動,以P為頂點作∠OPQ=45°交x軸于點Q.
(1)求點A和點B的坐標;
(2)比較∠AOP與∠BPQ的大小,說明理由.
(3)是否存在點P,使得△OPQ是等腰三角形?若存在,請求出點P的坐標;若不存在,請說明理由.
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