問(wèn)題情境：

在綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以“矩形的旋轉(zhuǎn)”為主題開(kāi)展數(shù)學(xué)活動(dòng)．具體要求：如圖1，將長(zhǎng)與寬都相等的兩個(gè)矩形紙片ABCD和EFGH疊放在一起，這時(shí)對(duì)角線AC和EG互相重合．固定矩形ABCD，將矩形EFGH繞AC的中點(diǎn)O逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)，直到點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)停止，在此過(guò)程中開(kāi)展探究活動(dòng)．

操作發(fā)現(xiàn)：

（1）雄鷹小組初步發(fā)現(xiàn)：在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)邊AB與EF交于點(diǎn)M，邊CD與GH交于點(diǎn)N，如圖2、圖3所示，則線段AM與CN始終存在的數(shù)量關(guān)系是　 　．

（2）雄鷹小組繼續(xù)探究發(fā)現(xiàn)：在旋轉(zhuǎn)開(kāi)始后，當(dāng)兩個(gè)矩形紙片重疊部分為四邊形QMRN時(shí)，如圖3所示，四邊形QMRN為菱形，請(qǐng)你證明這個(gè)結(jié)論．

（3）雄鷹小組還發(fā)現(xiàn)在問(wèn)題（2）中的四邊形QMRN中∠MQN與旋轉(zhuǎn)角∠AOE存在著特定的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)你寫(xiě)出這一關(guān)系，并說(shuō)明理由．

實(shí)踐探究：

（4）在圖3中，隨著矩形紙片EFGH的旋轉(zhuǎn)，四邊形QMRN的面積會(huì)發(fā)生變化．若矩形紙片的長(zhǎng)為，寬為，請(qǐng)你幫助雄鷹小組探究當(dāng)旋轉(zhuǎn)角∠AOE為多少度時(shí)，四邊形QMRN的面積最大？最大面積是多少？（直接寫(xiě)出答案）

（1）求A，B兩種型號(hào)的凈水器的銷售單價(jià)；

（2）若電器公司準(zhǔn)備用不多于 54000 元的金額采購(gòu)這兩種型號(hào)的凈水器共 30 臺(tái)，求 A種型號(hào)的凈水器最多能采購(gòu)多少臺(tái)?

（3）在（2）的條件下，公司銷售完這 30 臺(tái)凈水器能否實(shí)現(xiàn)利潤(rùn)超過(guò)12800 元的目標(biāo)?若能，請(qǐng)給出相應(yīng)的采購(gòu)方案；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

（1）求證：∠1=∠CAD；

（2）若AE=EC=2，求⊙O的半徑．

（1）抽查D廠家的零件為　 　件，扇形統(tǒng)計(jì)圖中D廠家對(duì)應(yīng)的圓心角為　 　；

（2）抽查C廠家的合格零件為　 　件，并將圖1補(bǔ)充完整；

（3）通過(guò)計(jì)算說(shuō)明合格率排在前兩名的是哪兩個(gè)廠家；

（4）若要從A、B、C、D四個(gè)廠家中，隨機(jī)抽取兩個(gè)廠家參加德國(guó)工業(yè)產(chǎn)品博覽會(huì)，請(qǐng)用“列表法”或“畫(huà)樹(shù)形圖”的方法求出（3）中兩個(gè)廠家同時(shí)被選中的概率．

任務(wù)一：下面是小希設(shè)計(jì)的“過(guò)直線外一點(diǎn)作已知直線的平行線”的尺規(guī)作圖過(guò)程．

已知：直線l及直線外一點(diǎn)P．

求作：直線PQ，使得PQ∥l．

作法：如圖

①在直線l上取一點(diǎn)O，連接OP，以點(diǎn)O為圓心，OP為半徑畫(huà)圓，交直線l與點(diǎn)A和點(diǎn)B；②連接AP，以點(diǎn)B為圓心，AP長(zhǎng)為半徑在直線l上方畫(huà)弧交⊙O于點(diǎn)Q；

③作直線PQ．

所以直線PQ就是所求作的直線．

根據(jù)小希設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖步驟完成下列問(wèn)題：

（1）在圖1中使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形；（保留作圖痕跡）

（2）證明：PQ∥l

任務(wù)二：已知：直線l及直線l外一點(diǎn)M．

請(qǐng)根據(jù)下列提供的數(shù)學(xué)原理，選擇其一，在圖2中使用直尺和圓規(guī)作直線MN，使得MN∥l．（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）

【題目】直線y=kx+b與反比例函數(shù)y=（x＞0）的圖象分別交于點(diǎn) A（m，3）和點(diǎn)B（6，n），與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)C和點(diǎn)D．

（1）求直線AB的解析式；

（2）若點(diǎn)P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△COD與△ADP相似時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

（1）寫(xiě)出下列圖形的寬距：

①半徑為1的圓：　 　；

②如圖1，上方是半徑為1的半圓，下方是正方形的三條邊的“窗戶形“：　 　；

（2）如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（﹣1，0）、B（1，0），C是坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)，連接AB、BC、CA所形成的圖形為S，記S的寬距為d．

①若d＝2，求點(diǎn)C所在的區(qū)域的面積；

②若點(diǎn)C在⊙M上運(yùn)動(dòng)，⊙M的半徑為1，圓心M在過(guò)點(diǎn)（0，2）且與y軸垂直的直線上．對(duì)于⊙M上任意點(diǎn)C，都有5≤d≤8，直接寫(xiě)出圓心M的橫坐標(biāo)x的取值范圍．

【題目】如圖，拋物線y＝x2+bx+c與直線y＝x+3分別相交于A，B兩點(diǎn)，且此拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為C，連接AC，BC．已知A（0，3），C（﹣3，0）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）在拋物線對(duì)稱軸l上找一點(diǎn)M，使|MB﹣MC|的值最大，并求出這個(gè)最大值；

（3）點(diǎn)P為y軸右側(cè)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接PA，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥PA交y軸于點(diǎn)Q，問(wèn)：是否存在點(diǎn)P使得以A，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

（1）某同學(xué)在探究相似四邊形的判定時(shí)，得到如下三個(gè)命題，請(qǐng)判斷它們是否正確（直接在橫線上填寫(xiě)“真”或“假”）．

①條邊成比例的兩個(gè)凸四邊形相似；（ 命題）

②三個(gè)角分別相等的兩個(gè)凸四邊形相似；（ 命題）

③兩個(gè)大小不同的正方形相似．（ 命題）

（2）如圖1，在四邊形ABCD和四邊形A1B1C1D1中，∠ABC＝∠A1B1C1，∠BCD＝∠B1C1D1，，求證：四邊形ABCD與四邊形A1B1C1D1相似．

（3）如圖2，四邊形ABCD中，AB∥CD，AC與BD相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作EF∥AB分別交AD，BC于點(diǎn)E，F．記四邊形ABFE的面積為S1，四邊形EFDE的面積為S2，若四邊形ABFE與四邊形EFCD相似，求的值．