操作示例

對(duì)于邊長(zhǎng)均為a的兩個(gè)正方形ABCD和EFGH，按如圖甲所示的方式擺放，再沿虛線BD、EG剪開后，可以按圖中所示的移動(dòng)方式拼接為圖甲中的四邊形BNED．

從拼接的過程容易得到結(jié)論：

①四邊形BNED是正方形；

②S_{正方形ABCD}＋S_{正方形EFGH}＝S_{正方形BNED}．

實(shí)踐與探究

(1)對(duì)于邊長(zhǎng)分別為a、b(a＞b)的兩個(gè)正方形ABCD和EFGH，按如圖乙所示的方式擺放，連結(jié)DE，過點(diǎn)D作DM⊥DE，交AB于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作MN⊥DM，過點(diǎn)E作EN⊥DE，MN與EN相交于點(diǎn)N．

①證明：四邊形MNED是正方形，并用含a、b的代數(shù)式表示正方形MNED的面積；

②在圖乙中，將正方形ABCD和正方形EFGH沿虛線剪開后，能夠拼接為正方形MNED．請(qǐng)簡(jiǎn)略說明你的拼接方法(類比圖甲，用數(shù)字表示對(duì)應(yīng)的圖形)．

(2)對(duì)于n(n是大于2的自然數(shù))個(gè)任意的正方形，能否通過若干次拼接，將其拼接為一個(gè)正方形？請(qǐng)簡(jiǎn)要說明你的理由．

如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，點(diǎn)M在邊AB上，且AM＝6．

(1)動(dòng)點(diǎn)D在邊AC上運(yùn)動(dòng)，且與點(diǎn)A、C均不重合，設(shè)CD＝x．

①設(shè)△ABC與△ADM的面積之比為y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式(寫出自變量x的取值范圍)；

②當(dāng)x取何值時(shí)，△ADM是等腰三角形？寫出你的理由．

(2)如圖(2)，以圖(1)中的BC、CA為一組鄰邊的矩形ACBE中，動(dòng)點(diǎn)D在矩形邊上運(yùn)動(dòng)一周，能使△ADM是以∠AMD為頂角的等腰三角形共有多少個(gè)(直接寫出結(jié)果，不要求說明理由)？

已知：△ABC中，AB＝10，

(1)如圖(1)，若點(diǎn)D、E分別是AC、BC的中點(diǎn)，求DE的長(zhǎng)；

(2)如圖(2)，若點(diǎn)A₁，A₂把AC邊三等分，過A₁，A₂作AB邊的平行線，分別交BC邊于B₁，B₂，求A₁B₁＋A₂B₂的值；

(3)如圖(3)，若點(diǎn)A₁，A₂，…，A₁₀把AC邊十一等分，過各點(diǎn)作AB邊的平行線，分別交BC邊于點(diǎn)B₁，B₂，…，B₁₀，根據(jù)你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，直接寫出A₁B₁＋A₂B₂＋…＋A₁₀B₁₀的結(jié)果．

如圖，將矩形ABCD(AB＜AD)沿BD折疊后，點(diǎn)C落在點(diǎn)E處，且BE交AD于點(diǎn)F．

(1)若AB＝4，BC＝8，求DF的長(zhǎng)；

(2)當(dāng)DA平分∠EDB時(shí)，求的值．

如圖，△ABC中，點(diǎn)O是AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過O作直線MN∥BC，設(shè)MN交∠BCA的平分線于點(diǎn)E，交∠BCA的外角平分線于點(diǎn)F．

(1)求證：EO＝FO；

(2)當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，四邊形AECF是矩形？并證明你的結(jié)論；

(3)若AC邊上存在點(diǎn)O，使四邊形AECF是正方形，且＝，求∠B的大�。�

如圖，邊長(zhǎng)為a的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，E是AD上異于A、D兩點(diǎn)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是CD上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足AE＋CF＝a．

(1)證明：不論E、F怎樣移動(dòng)，△BEF總是正三角形；

(2)求出△BEF面積最小值．

如圖，四邊形ABCD是正方形，△ECF是等腰直角三角形，其中CE＝CF，G是CD與EF的交點(diǎn)．

(1)求證：△BCF≌△DCE；

(2)若BC＝5，CF＝3，∠BFC＝90°，求DG∶GC的值．

如圖，在矩形紙片ABCD中，AB＝，BC＝6，沿EF折疊后，點(diǎn)C落在AB邊上的點(diǎn)P處，點(diǎn)D落在點(diǎn)Q處，AD與PQ相交于點(diǎn)H，∠BPE＝30°．

(1)求BE、QF的長(zhǎng)；

(2)求四邊形PEFH的面積．

如圖，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，另找一個(gè)直角三角形(各邊長(zhǎng)可以自行設(shè)定，且與原三角形不全等)與其拼成等腰三角形，求等腰三角形的周長(zhǎng)．

如圖，△ABC中，∠A＝36°，∠ACB＝72°，BD平分∠ABC交AC于D，CE⊥BD于F交AB于E，則圖中共有多少個(gè)等腰三角形？