Question

操作示例

對于邊長均為a的兩個正方形ABCD和EFGH，按如圖甲所示的方式擺放，再沿虛線BD、EG剪開后，可以按圖中所示的移動方式拼接為圖甲中的四邊形BNED．

從拼接的過程容易得到結論：

①四邊形BNED是正方形；

②S_{正方形ABCD}＋S_{正方形EFGH}＝S_{正方形BNED}．

實踐與探究

(1)對于邊長分別為a、b(a＞b)的兩個正方形ABCD和EFGH，按如圖乙所示的方式擺放，連結DE，過點D作DM⊥DE，交AB于點M，過點M作MN⊥DM，過點E作EN⊥DE，MN與EN相交于點N．

①證明：四邊形MNED是正方形，并用含a、b的代數(shù)式表示正方形MNED的面積；

②在圖乙中，將正方形ABCD和正方形EFGH沿虛線剪開后，能夠拼接為正方形MNED．請簡略說明你的拼接方法(類比圖甲，用數(shù)字表示對應的圖形)．

(2)對于n(n是大于2的自然數(shù))個任意的正方形，能否通過若干次拼接，將其拼接為一個正方形？請簡要說明你的理由．

Answer 1

答案：
解析：

[探究過程]本題實質(zhì)是一個兩個圖形合二為一的問題，其包含著一個等量關系，其總面積等于原來兩個面積和．則拼成后正方形的邊長為，根據(jù)勾股定理去尋找邊長． 　　解答：(1)①證明：由作圖的過程可知四邊形MNED是矩形．在Rt△ADM與Rt△CDE中，∵AD＝CD，又∠ADM＋∠MDC＝∠CDE＋∠MDC＝90°， 　　∴∠ADM＝∠CDE．∴Rt△ADM≌Rt△CDE． 　　∴DM＝DE．∴四邊形MNED是正方形． 　　∵DE2＝CD2＋CE2＝a2＋b2，∴正方形MNED的面積為a2＋b2; 　�、谶^點N作NP⊥BE，垂足為P，如圖，可以證明圖中6與5位置的兩個直角三角形全等，4與3位置的兩個直角三角形全等，2與1位置的兩個直角三角形也全等．所以將6放到5的位置，4放到3的位置，2放到1的位置，恰好拼接為正方形MNED． 　　(2)答：能． 　　理由是：由上述的拼接過程可以看出：對于任意的兩個正方形都可以拼接為一個正方形，而拼接出的這個正方形可以與第三個正方形再拼接為一個正方形，……以此類推．由此可知：對于n個任意的正方形，可以通過(n－1)次拼接，得到一個正方形． 　　[探究評析]學會從特殊情況來研究，再進一步根據(jù)特殊情況研究的方法來研究一般情況是否仍具有規(guī)律性，甚至再從數(shù)量上進行深度推廣，是否仍具有此性質(zhì)，借此培養(yǎng)聯(lián)想、探索研究能力．