科目： 來源：2007年全國中考數(shù)學(xué)試題匯編《三角形》（12）（解析版） 題型：解答題

（2007•安徽）如圖，DE分別是△ABC的邊BC和AB上的點，△ABD與△ACD的周長相等，△CAE與△CBE的周長相等．設(shè)BC=a，AC=b，AB=c．
（1）求AE和BD的長；
（2）若∠BAC=90°，△ABC的面積為S，求證：S=AE•BD．

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（2007•聊城）（1）如圖1是一個重要公式的幾何解釋．請你寫出這個公式；
（2）如圖2，Rt△ABC≌Rt△CDE，∠B=∠D=90°，且B，C，D三點共線．試證明∠ACE=90°；
（3）伽菲爾德（Garfield，1881年任美國第20屆總統(tǒng)）利用（1）中的公式和圖2證明了勾股定理（1876年4月1日，發(fā)表在《新英格蘭教育日志》上），現(xiàn)請你嘗試該證明過程．

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（2007•巴中）在學(xué)習(xí)勾股定理時，我們學(xué)會運用圖（I）驗證它的正確性；圖中大正方形的面積可表示為：
（a+b）²，也可表示為：c²+4•（ab），
即（a+b）²=c²+4•（ab）由此推出勾股定理a²+b²=c²，這種根據(jù)圖形可以極簡單地直觀推論或驗證數(shù)學(xué)規(guī)律和公式的方法，簡稱“無字證明”．

（1）請你用圖（II）（2002年國際數(shù)字家大會會標）的面積表達式驗證勾股定理（其中四個直角三角形全等）；
（2）請你用（III）提供的圖形進行組合，用組合圖形的面積表達式驗證（x+y）²=x²+2xy+y²；
（3）請你自己設(shè)計圖形的組合，用其面積表達式驗證：（x+p）（x+q）=x²+px+qx+pq=x²+（p+q）x+pq．

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（2010•本溪）如圖a，∠EBF=90°，請按下列要求準確畫圖：
1：在射線BE、BF上分別取點A、C，使BC＜AB＜2BC，連接AC得直角△ABC；
2：在AB邊上取一點M，使AM=BC，在射線CB邊上取一點N，使CN=BM，直線AN、CM相交于點P．
（1）請用量角器度量∠APM的度數(shù)為______；（精確到1°）
（2）請用說理的方法求出∠APM的度數(shù)；
（3）若將①中的條件“BC＜AB＜2BC”改為“AB＞2BC”，其他條件不變，你能自己在圖b中畫出圖形，求出∠APM的度數(shù)嗎？

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（2007•自貢）如圖，AB是⊙O的直徑，AE平分∠BAC交⊙O于點E，過E作⊙O的切線ME交AC于點D．試判斷△AED的形狀，并說明理由．

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（2007•內(nèi)江）如圖，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，A，C，D三點在同一直線上，連接BD，AE，并延長AE交BD于F．
（1）求證：△ACE≌△BCD；
（2）直線AE與BD互相垂直嗎？請證明你的結(jié)論．

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（2007•義烏）李老師在與同學(xué)進行“螞蟻怎樣爬最近”的課題研究時設(shè)計了以下三個問題，請你根據(jù)下列所給的重要條件分別求出螞蟻需要爬行的最短路程的長．
（1）如圖1，正方體的棱長為5cm一只螞蟻欲從正方體底面上的點A沿著正方體表面爬到點C₁處；
（2）如圖2，正四棱柱的底面邊長為5cm，側(cè)棱長為6cm，一只螞蟻從正四棱柱底面上的點A沿著棱柱表面爬到C₁處；
（3）如圖3，圓錐的母線長為4cm，圓錐的側(cè)面展開圖如圖4所示，且∠AOA₁=120°，一只螞蟻欲從圓錐的底面上的點A出發(fā)，沿圓錐側(cè)面爬行一周回到點A．

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（2007•衢州）請閱讀下列材料：
問題：如圖（1），一圓柱的底面半徑、高均為5cm，BC是底面直徑，求一只螞蟻從A點出發(fā)沿圓柱表面爬行到點C的最短路線．小明設(shè)計了兩條路線：
路線1：側(cè)面展開圖中的線段AC．如下圖（2）所示：
設(shè)路線1的長度為l₁，則l₁²=AC²=AB²+²=5²+（5π）²=25+25π²
路線2：高線AB+底面直徑BC．如上圖（1）所示：
設(shè)路線2的長度為l₂，則l₂²=（AB+BC）²=（5+10）²=225



l₁²-l₂²=25+25π²-225=25π²-200=25（π²-8）＞0
∴l(xiāng)₁²＞l₂²，∴l(xiāng)₁＞l₂
所以要選擇路線2較短．
（1）小明對上述結(jié)論有些疑惑，于是他把條件改成：“圓柱的底面半徑為1cm，高AB為5cm”繼續(xù)按前面的路線進行計算．請你幫小明完成下面的計算：
路線1：l₁²=AC²=______；
路線2：l₂²=（AB+BC）²=______
∵l₁²______l₂²，
∴l(xiāng)₁______l₂（填＞或＜）
∴選擇路線______（填1或2）較短．
（2）請你幫小明繼續(xù)研究：在一般情況下，當(dāng)圓柱的底面半徑為r，高為h時，應(yīng)如何選擇上面的兩條路線才能使螞蟻從點A出發(fā)沿圓柱表面爬行到C點的路線最短．

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（2009•德城區(qū)）一位同學(xué)拿了兩塊45°的三角尺△MNK、△ACB做了一個探究活動：將△MNK的直角頂點M放在△ABC的斜邊AB的中點處，設(shè)AC=BC=a．

（1）如圖1，兩個三角尺的重疊部分為△ACM，則重疊部分的面積為______，周長為______