科目： 來源：第3章《圖形的相似》中考題集（21）：3.3 相似三角形的性質(zhì)和判定（解析版） 題型：解答題

如圖，點D，E分別在△ABC的邊BC，BA上，四邊形CDEF是等腰梯形，EF∥CD．EF與AC交于點G，且∠BDE=∠A．
（1）試問：AB•FG=CF•CA成立嗎？說明理由；
（2）若BD=FC，求證：△ABC是等腰三角形．

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如圖，在?ABCD中，AE、BF分別平分∠DAB和∠ABC，交CD于點E、F，AE、BF相交于點M．
（1）試說明：AE⊥BF；
（2）判斷線段DF與CE的大小關(guān)系，并予以說明．

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如圖①、②在?ABCD中，∠BAD、∠ABC的平分線AF、BG分別與線段CD兩側(cè)的延長線（或線段CD）相交于點F、G，AF與BG相交于點E．
（1）在圖①中，求證：AF⊥BG，DF=CG；
（2）在圖②中，仍有（1）中的AF⊥BG、DF=CG．若AB=10，AD=6，BG=4，求FG和AF的長．

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在左圖的方格紙中有一個Rt△ABC（A、B、C三點均為格點），∠C=90°
（1）請你畫出將Rt△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°后所得到的Rt△A′B′C′，其中A、B的對應(yīng)點分別是A′、B′（不必寫畫法）；
（2）設(shè)（1）中AB的延長線與A′B′相交于D點，方格紙中每一個小正方形的邊長為1，試求BD的長（精確到0.1）．

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如圖，已知：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，sinB=，D是BC上一點，DE⊥AB，垂足為E，CD=DE，AC+CD=9．求BC的長．

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已知，如圖，AD為Rt△ABC斜邊BC上的高，點E為DA延長線上一點，連接BE，過點C作CF⊥BE于點F，交AB、AD于M、N兩點．
（1）若線段AM、AN的長是關(guān)于x的一元二次方程x²-2mx+n²-mn+m²=0的兩個實數(shù)根，求證：AM=AN；
（2）若AN=，DN=，求DE的長；
（3）若在（1）的條件下，S_△AMN：S_△ABE=9：64，且線段BF與EF的長是關(guān)于y的一元二次方程5y²-16ky+10k²+5=0的兩個實數(shù)根，求BC的長．

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如圖，在平行四邊形ABCD中，過點B作BE⊥CD于E，F(xiàn)為AE上一點，且∠BFE=∠C．
（1）求證：△ABF∽△EAD；
（2）若AB=5，AD=3，∠BAE=30°，求BF的長．

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把兩塊全等的直角三角形ABC和DEF疊放在一起，使三角板DEF的銳角頂點D與三角板ABC的斜邊中點O重合，其中∠ABC=∠DEF=90°，∠C=∠F=45°，AB=DE=4，把三角板ABC固定不動，讓三角板DEF繞點O旋轉(zhuǎn)，設(shè)射線DE與射線AB相交于點P，射線DF與線段BC相交于點Q．
（1）如圖1，當(dāng)射線DF經(jīng)過點B，即點Q與點B重合時，易證△APD∽△CDQ．此時，AP•CQ=______；
（2）將三角板DEF由圖1所示的位置繞點O沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α．其中0°＜α＜90°，問AP•CQ的值是否改變？說明你的理由；
（3）在（2）的條件下，設(shè)CQ=x，兩塊三角板重疊面積為y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式．（圖2，圖3供解題用）

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（Ⅰ）如圖1，點P在平行四邊形ABCD的對角線BD上，一直線過點P分別交BA，BC的延長線于點Q，S，交AD，CD于點R，T．求證：PQ•PR=PS•PT；
（Ⅱ）如圖2，圖3，當(dāng)點P在平行四邊形ABCD的對角線BD或DB的延長線上時，PQ•PR=PS•PT是否仍然成立？若成立，試給出證明；若不成立，試說明理由（要求僅以圖2為例進行證明或說明）；
（Ⅲ）如圖4，ABCD為正方形，A，E，F(xiàn)，G四點在同一條直線上，并且AE=6cm，EF=4cm，試以（Ⅰ）所得結(jié)論為依據(jù)，求線段FG的長度．

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取一副三角板按圖①拼接，固定三角板ADC，將三角板ABC繞點A依順時針方向旋轉(zhuǎn)一個大小為α的角（0°＜α≤45°）得到△ABC′，如圖所示．
試問：
（1）當(dāng)α為多少度時，能使得圖②中AB∥DC；
（2）當(dāng)旋轉(zhuǎn)至圖③位置，此時α又為多少度圖③中你能找出哪幾對相似三角形，并求其中一對的相似比；
（3）連接BD，當(dāng)0°＜α≤45°時，探尋∠DBC′+∠CAC′+∠BDC值的大小變化情況，并給出你的證明．