已知，四邊形ABCD是正方形，∠MAN= 45º，它的兩邊，邊AM、AN分別交CB、DC與點M、N，連接MN，作AH⊥MN，垂足為點H

 (1)如圖1，猜想AH與AB有什么數(shù)量關(guān)系？并證明；

    （2）如圖2，已知∠BAC =45º，.AD⊥BC于點D，且BD =2，CD =3，求AD的長．

    小萍同學通過觀察圖①發(fā)現(xiàn)，△ABM和△AHM關(guān)于AM對稱，△AHN和△ADN關(guān)于AN對稱，于是她巧妙運用這個發(fā)現(xiàn)，將圖形如圖③進行翻折變換，解答了此題。你能根據(jù)小萍同學的思路解決這個問題嗎？

已知,矩形中,,,的垂直平分線分別交、于點、,垂足為.

     (1)如圖1,連接、.求證四邊形為菱形,并求的長；

(2)如圖2,動點、分別從、兩點同時出發(fā),沿和各邊勻速運動一周.即點自→→→停止,點自→→→停止.在運動過程中,

①已知點的速度為每秒5,點的速度為每秒4,運動時間為秒,當、、、四點為頂點的四邊形是平行四邊形時,求的值.

②若點、的運動路程分別為、(單位:,),已知、、、四點為頂點的四邊形是平行四邊形,求與滿足的數(shù)量關(guān)系式.

已知正方形ABCD的邊長為4，E是CD上一個動點，以CE為一條直角邊作等腰直角三角形CEF，連結(jié)BF、BD、FD．

（1）BD與CF的位置關(guān)系是                 ．

（2）①如圖1，當CE=4（即點E與點D重合）時，△BDF的面積為          ．

②如圖2，當CE=2（即點E為CD的中點）時，△BDF的面積為          ．

③如圖3，當CE=3時，△BDF的面積為          ．

（3）如圖4，根據(jù)上述計算的結(jié)果，當E是CD上任意一點時，請?zhí)岢瞿銓Α?i>BDF面積與正方形ABCD的面積之間關(guān)系的猜想，并證明你的猜想．

已知：如圖13，等腰△ABC中，底邊BC=12，高AD=6．

（1）在△ABC內(nèi)作矩形EFGH，使F、G在BC上，E、H分別在AB、AC上，且長是寬的2倍．求矩形EFGH的面積．

（2）在（1）的基礎(chǔ)上，再作第二個矩形，使其兩個頂點在EH上，另外兩個頂點分別在AB、AC上，且長是寬的2倍．則第二個矩形的面積為          ；

（3）在（2）的基礎(chǔ)上，再作第三個矩形，使其兩個頂點在第二個矩形的邊上，另外兩個頂點分別在AB、AC上，且長是寬的2倍．則第三個矩形的面積為          ；

（4）按照這樣的方式做下去，根據(jù)上述計算猜想第四個矩形的面積為          ；第個矩形的面積為               ．

如圖，已知矩形紙片ABCD，AD=2，AB=4．將紙片折疊，使頂點A與邊CD上的點E重合，折痕FG分別與AB，CD交于點G，F，AE與FG交于點O．

（1）如圖1，求證：A，G，E，F四點圍成的四邊形是菱形；

（2）如圖2，當△AED的外接圓與BC相切于點N時，求證：點N是線段BC的中點；

（3）如圖2，在（2）的條件下，求折痕FG的長．

如圖，四邊形ABCD是矩形，對角線AC、BD相交于點O，BE∥AC交DC的延長線于點E.

（1）求證：BD=BE；

（2）若ÐDBC=30°，BO=4，求四邊形ABED的面積.

已知：在矩形ABCD中，AB=10，BC=12，四邊形EFGH的三個頂點E、F、H分別在矩形ABCD邊AB、BC、DA上，AE=2.

（1）如圖①，當四邊形EFGH為正方形時，求△GFC的面積；

（2）如圖②，當四邊形EFGH為菱形，且BF=a時，求△GFC的面積（用含a的代數(shù)式表示）；

（3）在（2）的條件下，△GFC的面積能否等于2？請說明理由.

如圖，在矩形ABCD中，AE平分∠DAB交DC于點E，連接BE，過E作EF⊥BE交AD于F.

(1)∠DEF和∠CBE相等嗎？請說明理由；

(2)請找出圖中與EB相等的線段(不另添加輔助線和字母)，并說明理由.

 如圖，在中，，，．是邊上一點，直線于，交于，交直線于．設(shè)．

（1）當取何值時，四邊形是菱形？請說明理由；

（2）當取何值時，四邊形的面積等于？

如圖,△AEF中,∠EAF=45°,AG⊥EF于點G,現(xiàn)將△AEG沿AE折疊得到△AEB,將△AFG沿AF折疊得到△AFD,延長BE和DF相交于點C．

(1)求證：四邊形ABCD是正方形；

(2)連接BD分別交AE、AF于點M、N，將△ABM繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，使AB與AD重合，得到△ADH，試判斷線段MN、ND、DH之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

(3)若EG=4，GF=6，BM=3，求AG、MN的長．