Question

如圖，等腰直角△ABC中，∠ACB=90゜，D為CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，AE=AD，且AE⊥AD，BE與AC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P．
（1）求證：BP=PE；
（2）若AC=3PC，求的值．

Answer 1

證明：（1）作EM⊥AP于M，
∵∠ACB=90°，
∴∠M=∠ACD，
∵AD⊥AE，
∴∠DAE=90°，
∴∠EAM+∠AEM=90°，∠EAM+∠DAC=90°，
∴∠DAC=∠AEM，
在△ADC和△EAM中

∴△ADC≌△EAM，
∴AC=EM，
∵AC=BC，
∴BC=EM，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCP=∠M，
在△BCP和△EMP中

∴△BCP≌△EMP，
∴BP=PE．

（2）∵△BCP≌△EMP，△ADC≌△EAM，
∴CP=PM，AM=DC，
設(shè)PC=PM=x，AC=BC=3x，AM=DC=5x，
∴BD=2x，
∴．
分析：（1）作EM⊥AP于M，證△BCP≌△EMP，求出BC=AC=EM，證△ADC≌△EAM，推出即可；
（2）根據(jù)全等三角形性質(zhì)得出CP=PM，DC=AM，設(shè)PC=PM=x，AC=BC=3x，AM=DC=5x，求出BD=2x，即可求出答案．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形內(nèi)角和定理，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力．