Question

如圖1：在△ABC中，∠ABC=45°，H是高AD和BE的交點，
（1）求證：BH=AC．
（2）如圖2，當∠A=90°，其他條件不變，結論BH=AC還成立嗎？得出結論，不必證明．
（3）當∠A為鈍角時，如圖3，其他條件不變，此時結論BH=AC還成立嗎？若成立，請證明，若不成立，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）可通過全等三角形來證BH=AC，那么關鍵是證三角形ADC和BDH全等．已知的條件有一組直角，∠DAC和∠EBC都是∠C的余角，因此也相等，只要再證得一組對應邊相等即可得出結論．我們發(fā)現(xiàn)∠ABC=45°，因此三角形ABD是等腰直角三角形，因此AD=BD，這樣兩三角形全等的所有條件就都湊齊了，即可得出BH=AC的結論．
（2）根據(jù)當∠A=90°，其他條件不變，BH與AB重合，進而得出BH=AC；
（3）同（1）的方法完全相同，也是通過證明三角形HBD和ADC全等來證得．
解答：（1）證明：∵∠DAC+∠C=90°，∠EBC+∠C=90°，
∴∠DAC=∠EBC，
∵∠ABC=45°，
∴△ABD是等腰直角三角形．
∴AD=BD．
在Rt△BDH和Rt△ADC中：

∴Rt△BDH≌Rt△ADC．（ASA）
∴BH=AC．


（2）解：當∠A=90°，其他條件不變，結論BH=AC還成立，
此時BH與AB重合，進而得出BH=AC；

（3）解：如圖，HB=AC仍然成立．
證明：∵∠H+∠HAE=90°，∠C+∠CAD=90°，
又∵∠HAE=∠DAC，
∴∠H=∠C．
∵∠ABC=45°，∠ADB=90°，
∴三角形ABD是等腰直角三角形．
∴AD=BD．
又∵∠BDH=∠ADC，
∴Rt△BDH≌Rt△ADC（AAS）．
∴BH=AC．
點評：此題考查了全等三角形的判定與性質．解答該題時，圍繞結論尋找全等三角形，運用全等三角形的性質判定對應線段相等得出是解題關鍵．