Question

已知：如圖，⊙O與⊙P相交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在⊙O上，⊙O的弦AC切⊙P于點(diǎn)A，CP及其延長(zhǎng)線交⊙P于D、E，過點(diǎn)E作EF⊥CE交CB的延長(zhǎng)線于F．
（1）求證：BC是⊙P的切線；
（2）若CD=2，CB=，求EF的長(zhǎng)．

Answer 1

解：（1）連接PB，PA，
∵點(diǎn)P在⊙O上，
∵⊙O的弦AC切⊙P于點(diǎn)A，
∴∠CAP=90°，
∵四邊形APBC是⊙O的內(nèi)接四邊形，
∴∠PBC=90°，即PB⊥CB．
∵B在⊙P上，
∴CB是⊙P的切線．

（2）∵CB是⊙P的切線，
∴CB²=CD•（CD+DE）．
∵CD=2，CB=，
∴（2）2═2×（2+ED）．
∴DE=2．
∴CE=CD+DE=2+2=4．
∴在⊙P中，PD=PE=ED=1，
∵CP=3，CB=2，
∴BP=1．
∵EF⊥CE，
∴∠FEC=∠CBP=90°，∠FCE=∠PCB．
∴△FCE∽△PCB．
∴，
∵CB=2，CE=4，BP=1，
∴=，
∴EF=．
分析：（1）連接PA，PB，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)證明∠PBC是直角，從而可以確定CB是⊙P的切線；
（2）根據(jù)△FCE∽△PCB，則，由于CB是⊙P的切線，所以根據(jù)CB²=CD•（CD+DE），可以求得DE的長(zhǎng)度，進(jìn)而求得CE的長(zhǎng)度；再求得BP的長(zhǎng)度即可，在Rt△CPB中，CP=3，CB=2，則可求得EF的長(zhǎng)度．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是相交兩圓的性質(zhì)、切線的判定和切線的性質(zhì)以及相似三角形的判定和相似三角形的性質(zhì)，題目的綜合性不小，屬于中檔題．