Question

10．如圖一，矩形ABCD中，AB=5cm，BC=4cm，E是BC上一點，將△CDE沿DE折疊，使點C落在AB上一點F處，連結(jié)DF、EF．
（1）求BE的長度；
（2）設點P、H、G分別在線段DE、BC、BA上，當BP=CP且四邊形BGPH為矩形時，請說明矩形BGPH的長寬比為2：1，并求PE的長．（如圖二）

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)矩形性質(zhì)以及折疊變換，運用勾股定理求得AF、BF的長，再設BE=x，在Rt△BEF中運用勾股定理列出方程，求得x的值．
（2）先判斷PH垂直平分BC，求得矩形中BH的長，再根據(jù)平行線分線段成比例定理，求得PH的長，進而得出矩形BGPH的長寬比為2：1，最后根據(jù)勾股定理求得PE的長．

解答 解：（1）如圖一，在矩形ABCD中，AD=BC=4，CD=AB=5，∠A=90°，
由折疊可得：DF=DC=5，CE=CF，
∴直角三角形ADF中，AF=$\sqrt{D{F}^{2}-A{D}^{2}}$=3，
∴BF=5=3=2，
設BE=x，則CE=FE=4-x，
在Rt△BEF中，2²+x²=（4-x）²，
解得x=1.5，
即BE=1.5；

（2）如圖二，當BP=CP，且四邊形BGPH為矩形時，點P在BC的垂直平分線上，
即PH垂直平分BC，
∴BH=CH=$\frac{1}{2}$BC=2，①
又∵BE=1.5，
∴EH=0.5，EC=2.5
∵PH∥DC，
∴$\frac{PH}{DC}$=$\frac{EH}{EC}$，即$\frac{PH}{5}$=$\frac{0.5}{2.5}$
解得PH=1，②
∴由①②得：矩形BGPH的長寬比為2：1，
在Rt△PEH中，PE=$\sqrt{P{H}^{2}+E{H}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+0．{5}^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

點評 本題以折疊問題為背景，主要考查了矩形的性質(zhì)以及勾股定理的運用，折疊屬于軸對稱變換，折疊前后圖形的對應邊和對應角相等，這是解題的關鍵所在．解題時，常常設要求的線段長為x，然后根據(jù)折疊和軸對稱的性質(zhì)，用含x的代數(shù)式表示其他線段的長度，選擇適當?shù)闹苯侨�角形，運用勾股定理列出方程求出答案，這是解題的一般思路．