Question

如圖①，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，點D是BC的中點．作正方形DEFG，使點A、C分別在DG和DE上，連接AE、BG．

（1）試猜想線段BG和AE的數(shù)量關系，請直接寫出你得到的結論                 ．
（2）將正方形DEFG繞點D逆時針方向旋轉一定角度后（旋轉角度大于0°，小于或等于360°），如圖②，通過觀察或測量等方法判斷（1）中的結論是否仍然成立？如果成立，請予以證明；如果不成立，請說明理由．
（3）若BC＝DE＝2，在（2）的旋轉過程中，當AE為最大值時，求AF的值．

Answer 1

（1）BG＝AE．
（2）成立． 
如圖②，
連接AD．∵△ABC是等腰三直角角形，∠BAC＝90°，點D是BC的中點．
∴∠ADB＝90°，且BD＝AD．
∵∠BDG＝∠ADB－∠ADG＝90°－∠ADG＝∠ADE，DG＝DE．
∴△BDG≌△ADE，∴BG＝AE．…………………………………………7分
（3）由（2）知，BG＝AE，故當BG最大時，AE也最大．
正方形DEFG繞點D逆時針方向旋轉270°時，BG最大，如圖③．

若BC＝DE＝2，則AD＝1，EF＝2．
在Rt△AEF中，AF²＝AE²＋EF²＝(AD＋DE)²＋EF²＝(1＋2)²＋2²＝13．
∴AF＝

（1）在Rt△BDG與Rt△EDA；根據(jù)邊角邊定理易得Rt△BDG≌Rt△EDA；故BG=AE；
（2）連接AD，根據(jù)直角三角形與正方形的性質(zhì)可得Rt△BDG≌Rt△EDA；進而可得BG=AE；
（3）根據(jù)（2）的結論，求BG的最大值，分析可得此時F的位置，由勾股定理可得答案．