Question

16．如圖，在平面直角坐標系中，點A、C分別是一次函數(shù)y=-$\frac{3}{4}$x+3的圖象與y軸、x軸的交點，拋物線y=$\frac{1}{4}$x²+bx+c經(jīng)過B（-2，0）、D（6，3）兩點．
（1）求該拋物線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；
（2）動點P從點A出發(fā)，在線段AD上勻速運動，同時動點Q從點C出發(fā)，在線段AC上勻速運動，速度均為每秒1個單位，當其中一個動點到達終點時，它們同時停止運動．設(shè)點P運動t（秒）時，△APQ的面積為S．
①當P運動到何處時，PQ⊥AC；②求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值；
（3）在（2）的條件下，當S取得最大值時，在x軸下方的拋物線上存在點K，使S_△BCK=4S，直接寫出點K的坐標．

Answer 1

分析 （1）把B、D兩點代入拋物線解析式解方程組即可解決問題．
（2）①由△AQP∽△COA，得到$\frac{AP}{CA}$=$\frac{AQ}{CO}$，列出方程即可解決問題．②由△AMQ∽△COA，得到：$\frac{QM}{AO}$=$\frac{AQ}{AC}$，求出QM，即可解決問題，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值．
（3）設(shè)K（m，n），由題意$\frac{1}{2}$×6×（-n）=4×$\frac{15}{8}$，解方程即可解決問題．

解答 解：（1）∵拋物線y=$\frac{1}{4}$x²+bx+c經(jīng)過B（-2，0）、D（6，3）兩點，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1-2b+c=0}\\{9+6b+c=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-\frac{5}{8}}\\{c=-\frac{9}{4}}\end{array}\right.$，
∴拋物線解析式為y=$\frac{1}{4}$x²-$\frac{5}{8}$x-$\frac{9}{4}$．

（2）①如圖1中，

由題意A（0，3），C（4，0），
∵PQ⊥AC，
∴∠PQA=∠AOC=90°，
∵AD∥BC，
∴∠PAQ=∠ACO，
∴△AQP∽△COA，
∴$\frac{AP}{CA}$=$\frac{AQ}{CO}$，
∴$\frac{t}{5}$=$\frac{5-t}{4}$，
∴t=$\frac{25}{9}$．

②如圖2中，作QM⊥AP于M．

由△AMQ∽△COA，得到：$\frac{QM}{AO}$=$\frac{AQ}{AC}$，
∴$\frac{QM}{3}$=$\frac{5-t}{5}$，
∴QM=$\frac{3}{5}$（5-t）．
∴S=$\frac{1}{2}$•AP•QM=-$\frac{3}{10}$t²+$\frac{3}{2}$t=-$\frac{3}{10}$（t-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{15}{8}$．
∴t=$\frac{5}{2}$時，S最大值=$\frac{15}{8}$．

（3）設(shè)K（m，n），
由題意$\frac{1}{2}$×6×（-n）=4×$\frac{15}{8}$，
∴n=-$\frac{5}{2}$，
當y=-$\frac{5}{2}$時，-$\frac{5}{2}$=$\frac{1}{4}$x²-$\frac{5}{8}$x-$\frac{9}{4}$，解得x=2或$\frac{1}{2}$，
∴點K坐標（$\frac{1}{2}$，-$\frac{5}{2}$）或（2，-$\frac{5}{2}$）．

點評 本題考查二次函數(shù)綜合題、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會構(gòu)建二次函數(shù)解決最值問題，屬于中考壓軸題．