Question

5．如圖，點(diǎn)A（a，$\frac{20}{3}$）和點(diǎn)B（5，-4）都在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的圖象上，過點(diǎn)A，B的直線與x軸交與點(diǎn)E，與y軸交與點(diǎn)F，過點(diǎn)A作AC⊥x軸于點(diǎn)C，過點(diǎn)B作BD⊥y軸于點(diǎn)D，連接CD．
（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)及直線AB的解析式；
（2）求四邊形ACDB的面積S；
（3）試判斷四邊形CDBE的形狀，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）由點(diǎn)A（a，$\frac{20}{3}$）和點(diǎn)B（5，-4）都在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的圖象上，首先求得解析式，繼而求得點(diǎn)A的坐標(biāo)；然后設(shè)直線AB的解析式為：y=mx+n，利用待定系數(shù)法即可求得直線AB的解析式；
（2）由（1）可求得各點(diǎn)的坐標(biāo)，然后易證得四邊形CDBE是平行四邊形，利用S_{四邊形ACDB}=S_△ACE+S_?CDBE，即可求得答案；
（3）由（2）可得四邊形CDBE是平行四邊形，易得CD=CE=5，即可判定四邊形CDBE是菱形．

解答 解：（1）∵點(diǎn)B（5，-4）在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的圖象上，
∴k=xy=5×（-4）=-20，
∴反比例函數(shù)的解析式為：y=-$\frac{20}{x}$，
∵點(diǎn)A（a，$\frac{20}{3}$）在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的圖象上，
∴$\frac{20}{3}$a=-20，
解得：a=-3，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為：（-3，$\frac{20}{3}$）；
設(shè)直線AB的解析式為：y=mx+n，
則$\left\{\begin{array}{l}{-3m+n=\frac{20}{3}}\\{5m+n=-4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{4}{3}}\\{n=\frac{8}{3}}\end{array}\right.$，
∴直線AB的解析式為：y=-$\frac{4}{3}$x+$\frac{8}{3}$；

（2）∵AC⊥x軸，BD⊥y軸，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為：（-3，0），點(diǎn)D的坐標(biāo)為：（0，-4），
∴OC=3，OD=4，
∵直線AB交x軸于點(diǎn)E，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為：（2，0），
∴CE=OC+OE=5，AC=$\frac{20}{3}$，BD=5，OD=4，
∴BD=CE，
∵BD∥CE，
∴四邊形CDBE是平行四邊形，
∴S_{四邊形ACDB}=S_△ACE+S_?CDBE=$\frac{1}{2}$×5×$\frac{20}{3}$+5×4=$\frac{110}{3}$；

（3）四邊形CDBE是菱形．
理由：∵CD=$\sqrt{O{C}^{2}+O{D}^{2}}$=5，
∴CD=CE=5，
∵四邊形CDBE是平行四邊形，
∴?CDBE是菱形．

點(diǎn)評(píng) 此題屬于反比例函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)求函數(shù)解析式、四邊形的面積問題以及菱形的判定等知識(shí)．注意掌握利用割補(bǔ)的方法求面積是關(guān)鍵．