Question

已知直線l經(jīng)過A（6，0）和B（0，12）兩點，且與直線y=x交于點C．
（1）求直線l的解析式；
（2）若點P（x，0）在線段OA上運動，過點P作l的平行線交直線y=x于D，求△PCD的面積S與x的函數(shù)關(guān)系式；S有最大值嗎？若有，求出當(dāng)S最大時x的值；
（3）若點P（x，0）在x軸上運動，是否存在點P，使得△PCA成為等腰三角形？若存在，請寫出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用待定系數(shù)法將A（6，0）和B（0，12）代入解析式，求出即可；
（2）將兩函數(shù)解析式聯(lián)立，得出點C的坐標(biāo)，再利用平行線的性質(zhì)，進(jìn)而求出=，再利用二次函數(shù)最值求出即可；
（3）分別根據(jù)P₁C=CA，P₃A=AC，P₂A=AC，P₄C=P₄A時結(jié)合圖形求出即可．
解答：解：（1）設(shè)直線L解析式為y=kx+b，
將A（6，0）和B（0，12）代入，得：
，
解得：，
∴直線L解析式為y=-2x+12；

（2）解方程組：，
得：，
∴點C的坐標(biāo)為（4，4），
∴S_△COP=x×4=2x；
∵PD∥l，
∴=，
而=，
∴=，
即=，
∴△PCD的面積S與x的函數(shù)關(guān)系式為：
S=-x²+2x，
∵S=-（x-3）²+3，
∴當(dāng)x=3時，S有最大值，最大值是3．

（3）存在點P，使得△PCA成為等腰三角形，
∵點C的坐標(biāo)為（4，4），A（6，0），
根據(jù)P₁C=CA，P₃A=AC，P₂A=AC，P₄C=P₄A時分別求出即可，
當(dāng)P₁C=CA時，P₁（2，0），
當(dāng)P₂A=AC時，P₂（6-2，0），
當(dāng)P₃A=AC時，P₃（6+2，0），
當(dāng)P₄C=P₄A時，P₄（1，0），
∴點P的坐標(biāo)分別為：
P₁（2，0），P₂（6-2，0），P₃（6+2，0），P₄（1，0）．
點評：此題主要考查了一次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及三角形的相似的性質(zhì)與判定和二次函數(shù)的最值、勾股定理等知識，題目綜合性較強，相似經(jīng)常與函數(shù)綜合出現(xiàn)，利用數(shù)形結(jié)合得出是解決問題的關(guān)鍵．