Question

19．如圖，⊙O是以原點(diǎn)為圓心，半徑為2的圓，點(diǎn)A（6，2），點(diǎn)P是⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，以線段PA為斜邊構(gòu)造直角△PAM，且cos∠MPA=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，現(xiàn)已知當(dāng)點(diǎn)P在⊙O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，保持∠MPA的大小不變，點(diǎn)M隨著點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)且運(yùn)動(dòng)路徑也形成一個(gè)圓，則該圓的半徑是（　　）

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{2\sqrt{2}}{3}$
• C． $\frac{2}{3}$
• D． 1

Answer 1

分析 如圖，作直線AO交⊙O于P₁，P₂，點(diǎn)P在⊙O上運(yùn)動(dòng)，所以PA的最小值就是AP₁的長(zhǎng)，PA的最大值就是PA₂的長(zhǎng)，求出相應(yīng)的AM的最小值、最大值即可解決問(wèn)題．

解答 解：如圖，作直線AO交⊙O于P₁，P₂．

∵點(diǎn)P在⊙O上運(yùn)動(dòng)，
∴PA的最小值就是AP₁的長(zhǎng)，PA的最大值就是PA₂的長(zhǎng)，
∵∠AP₁M₁=∠AP₂M₂，∴P₁M₁∥P₂M₂，
∵∠AM₁P₁=∠AM₂P₂=90°，
∴A、M₁、M₂共線，
∵OA=$\sqrt{{2}^{2}+{6}^{2}}$=2$\sqrt{10}$，
∴AP₁=2$\sqrt{10}$-2，AP₂=2$\sqrt{10}$+2，
∵cos∠AP₁M₁=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴sin∠AP₁M₁=$\frac{1}{3}$，
∴AM₁=PA₁•$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{3}$（2$\sqrt{10}$-2），AM₂=$\frac{1}{3}$（2$\sqrt{10}$+2），
∴M₁M₂=$\frac{4}{3}$，
由圖象可知M₁M₂就是點(diǎn)M隨著點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)且運(yùn)動(dòng)路徑形成的圓的直徑，
∴該圓的半徑是$\frac{2}{3}$．
故答案為C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的綜合題，解題的關(guān)鍵是會(huì)求圓外一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的最大距離以及最小距離，反之利用這個(gè)最大值以及最小值可以求出圓的直徑，屬于中考?jí)狠S題．