Question

如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與y軸交于點A（0，1），過點A和 x軸平行的直線與拋物線的另一個交點為B．P為拋物線上一點（點P不與A、B重合），設點P的橫坐標為m，△PAB的面積為S．
（1）求點B的坐標．
（2）求S與m之間的函數關系式．
（3）當S=4時，求m的值．

Answer 1

解：（1）∵拋物線與y軸交于點A（0，1），
∴1=-（0-2）²+k，
解得：k=3，
則拋物線解析式為：y=-（x-2）²+3=-x²+2x+1，
∵過點A和 x軸平行的直線與拋物線的另一個交點為B，
∴1=-（x-2）²+3，
解得：x₁=0，x₂=4，
∴B點坐標為：（4，1）；

（2）設點P的橫坐標為m，△PAB的面積為S，
∴P點坐標為：（m，-m²+2m+1），
由題意可得出：AB=4，P到AB的距離為：-m²+2m+1-1=-m²+2m，
∴S=×4×（-m²+2m）=-m ²+4m；

（3）當S=4時，
則4=-m ²+4m，
解得：m₁=m₂=2，
即m的值為2．
分析：（1）根據拋物線與y軸交于點A（0，1），直接代入A點得出拋物線解析式，再利用y=1時進而得出x的值，即可得出B點坐標；
（2）首先表示出P點坐標，進而表示出△PAB的底與高的長度，即可得出S與m的關系式；
（3）將S=4代入（2）中所求，即可得出答案．
點評：此題主要考查了二次函數的綜合應用以及三角形面積求法和圖象上點的坐標性質，根據P點坐標得出P到AB的距離是解題關鍵．