Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作⊙O的切線(xiàn)，交BA的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥BA，交DC延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，連接OE，交⊙O于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)H，連接AC．
（1）求證：∠ECB=∠EBC；
（2）連接BF，CF，若CF=6，sin∠FCB= ，求AC的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】
（1）解：證明：∵BE⊥OB，

∴BE是⊙O的切線(xiàn)，∵EC是⊙O的切線(xiàn)，

∴EC=EB，

∴∠ECB=∠EBC

（2）解：連接CF、CO、AC．

∵EB=EC，OC=OB，

∴EO⊥BC，

∴∠CHF=∠CHO=90°，

在Rt△CFH中，∵CF=6，sin∠FCH= ，

∴FH=CFsin∠FCH= ，CH= = ，

設(shè)OC=OF=x，

在Rt△COH中，∵OC2=CH2+OH2，

∴x2=（ ）2+（x﹣ ）2，

∴x=5，

∴OH= ，

∵OH⊥BC，

∴CH=HB，∵OA=OB，

∴AC=2OH= ．

【解析】（1）只要證明EB是⊙O的切線(xiàn)，利用切線(xiàn)長(zhǎng)定理可知EC=EB，即可解決問(wèn)題．（2）連接CF、CO、AC．在Rt△CFH中，由CF=6，sin∠FCH= ，推出FH=CFsin∠FCH= ，CH= = ，設(shè)OC=OF=x，在Rt△COH中，由OC2=CH2+OH2 ， 可得x2=（ ）2+（x﹣ ）2 ， 解得x=5，推出OH= ，再利用三角形中位線(xiàn)定理證明AC=2OH即可解決問(wèn)題．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解切線(xiàn)的性質(zhì)定理(切線(xiàn)的性質(zhì)：1、經(jīng)過(guò)切點(diǎn)垂直于這條半徑的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)2、經(jīng)過(guò)切點(diǎn)垂直于切線(xiàn)的直線(xiàn)必經(jīng)過(guò)圓心3、圓的切線(xiàn)垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑)，還要掌握解直角三角形(解直角三角形的依據(jù)：①邊的關(guān)系a2+b2=c2；②角的關(guān)系：A+B=90°；③邊角關(guān)系：三角函數(shù)的定義．(注意：盡量避免使用中間數(shù)據(jù)和除法))的相關(guān)知識(shí)才是答題的關(guān)鍵．