Question

如圖，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝8cm，CD＝2cm，AD＝6cm。點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以2cm/s的速度沿AB向終點(diǎn)B運(yùn)動；點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以1cm/s的速度沿CD、DA向終點(diǎn)A運(yùn)動（P、Q兩點(diǎn)中，有一個(gè)點(diǎn)運(yùn)動到終點(diǎn)時(shí)，所有運(yùn)動即終止）．設(shè)P、Q同時(shí)出發(fā)并運(yùn)動了t秒。

 

 

（1）當(dāng)PQ將梯形ABCD分成兩個(gè)直角梯形時(shí)，求t的值；

（2）試問是否存在這樣的t，使四邊形PBCQ的面積是梯形ABCD面積的一半？若存在，求出這樣的t的值，若不存在，請說明理由。

 

Answer 1

【答案】

解：（1）過D作DE⊥AB于E，過C作CF⊥AB于F，如圖1。

∵ABCD是等腰梯形，∴四邊形CDEF是矩形，

∴DE=CF    

又∵AD=BC，

又CD=2cm，AB=8cm，∴EF=CD=2cm

若四邊形APQD是直角梯形，則四邊形DEPQ為矩形。

∵CQ=t，∴DQ=EP=2－t

    

（2）在Rt△ADE中，

      

當(dāng)時(shí)，

①如圖2，若點(diǎn)Q在CD上，即0≤t≤2

則CQ=t，BP=8－2t

      

解之得t=3（舍去）      

②如圖3，若點(diǎn)Q在AD上，即2<t≤4

過點(diǎn)Q作HG⊥AB于G，交CD的延長線于H

由圖1知，

，則∠A=60°

在Rt△AQG中，AQ=8－t，QG=AQ·sin60°，

在Rt△QDH中，∠QDH=60°，DQ=t－2

      

由題意知，

即，解之得（不合題意，舍去），

       

     答：存在，使四邊形PBCQ的面積是梯形ABCD面積的一半。

【解析】（1）過D作DE⊥AB于E，過C作CF⊥AB于F，通過，得，若四邊形APQD是直角梯形，則四邊形DEPQ為矩形，通過，代入值，即可求解

（2）假設(shè)當(dāng)時(shí)，通過點(diǎn)Q在CD上或在AD上，兩種情況進(jìn)行討論、求解