Question

△ABC中，AB=AC=10，BC=12，動點D在邊AB上，DE⊥AB，點E在BC上，點F在邊AC上，且∠DEF=∠B，當點D在AB上運動時，
（1）S_△FCE可能等于S_△EBD的二倍嗎？若可能，請求出BD的長；若不可能，請說明理由．
（2）S_△FCE可能等于S_△EBD的四倍嗎？若可能，請求出BD的長；若不可能，請說明理由．

Answer 1

（1）存在．
證明：如圖所示：
過點A作AH⊥BC于點H，
∵DE⊥AB，
∴∠B+∠BED=90°，
∵∠DEF=∠B，
∴∠BED+∠DEF=90°，
∴FE⊥BC，
∴∠BDE=∠CEF，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴△EBD∽△FCE，
∵BC=12，AB=AC，AH⊥BC，
∴BH=CH=6，AH=8，
∵FE⊥BC，
∴當點F與點A重合時△FCE的面積最大，此時點E與點H重合，
∴S_△FCE=CE•EF=×6×8=24；
∵==，==，解得BD=3.6，DE=4.8，
∴S_△EBD=BD•DE=×3.6×4.8=8.64，
∵2×8.64=9.2＜24，
∴S_△FCE可能等于S_△EBD的2倍；

（2）不存在．
證明：由（1）知當點F與點A重合時△FCE的面積最大，此時點E與點H重合，S_△FCE=CE•EF=×6×8=24，S_△EBD=BD•DE=×3.6×4.8=8.64，
∵24＜4×8.64=34.56，點F只在AC邊上，
∴S_△FCE不可能等于S_△EBD的四倍．
分析：（1）根據題意畫出圖形，過點A作AH⊥BC于點H，根據相似三角形的判定定理得出△EBD∽△FCE，當點F到達A點時△FCE的面積最大，求出兩三角形面積的值進行比較即可；
（2）根據（1）中兩三角形的面積即可得出結論．
點評：本題考查的是相似三角形的判定與性質，根據題意畫出圖形利用數形結合是解答此題的關鍵．