Question

【題目】如圖1，Rt△ABC≌Rt△DFE，其中∠ACB＝∠DFE＝90°，BC＝EF．

(1)若兩個(gè)三角形按圖2方式放置，AC、DF交于點(diǎn)O，連接AD、BO，則AF與CD的數(shù)量關(guān)系為　 　，BO與AD的位置關(guān)系為　 　；

(2)若兩個(gè)三角形按圖3方式放置，其中C、B(D)、F在一條直線上，連接AE，M為AE中點(diǎn)，連接FM、CM．探究線段FM與CM之間的關(guān)系，并證明；

(3)若兩個(gè)三角形按圖4方式放置，其中B、C(D)、F在一條直線上，點(diǎn)G、H分別為FC、AC的中點(diǎn)，連接GH、BE交于點(diǎn)K，求證：BK＝EK．

Answer 1

【答案】(1)AF＝CD， BO⊥AD；(2)FM＝MC，FM⊥CM，理由見解析；(3)證明見解析.

【解析】

（1）利用全等三角形的性質(zhì)，線段的垂直平分線的判定定理即可解決問題；

（2）結(jié)論：FM＝MC，F(xiàn)M⊥CM．如圖3中，延長FM交CA的延長線于H．想辦法證明△FCH是等腰直角三角形，FM＝MH即可解決問題；

（3）如圖4中，連接BH，EG，在HG上取一點(diǎn)J，使得BJ＝BH．想辦法證明△BKJ≌△EKG即可解決問題；

(1)如圖2中，

∵Rt△ABC≌Rt△DFE(已知)，

∴AB＝BD，BC＝BF，

∴AF＝CD，

∵∠AFO＝∠DCO＝90°，∠AOF＝∠DOC，

∴△AOF≌△DOC(AAS)，

∴OA＝OC，∵BA＝BD，

∴BO垂直平分線段AD．

∴BO⊥AD，

故答案為：AF＝CD，BO⊥AD．

(2)結(jié)論：FM＝MC，FM⊥CM．

理由：如圖3中，延長FM交CA的延長線于H．

∵∠ACB+∠EFC＝180°，B，F，C共線，

∴EF∥CH，

∴∠EFM＝∠H，

∵EM＝MA，∠EMF＝∠AMH，

∴△EFM≌△AHM(AAS)，

∴FM＝MH，EF＝AH，

∵∠FCH＝90°，

∴CM＝FM＝MH，

即FM＝MC，

∵△Rt△ABC≌Rt△DFE(已知)，

∴BF＝AC，EF＝BC，

∴BA＝AH，

∴FC＝CH，

∵FM＝MH，

∴CM⊥FM．

(3)如圖4中，連接BH，EG，在HG上取一點(diǎn)J，使得BJ＝BH．

∵Rt△ABC≌Rt△DFE(已知)，

∴BC＝EF，AC＝CF，

∵CH＝AH，CG＝GF，

∴CH＝FG，

∵∠BCH＝∠F＝90°，

∴△BCH≌△EFG(SAS)，

∴∠CBH＝∠FEG，

∵CH＝CG，∠GCH＝90°，

∴∠CGH＝∠CHG＝45°，

∴∠BHG＝180°﹣45°﹣∠GBH＝135°﹣∠GBH，

∵∠CGE＝∠CGH+∠HGE＝90°+∠GEF，

∴∠HGE＝45°+∠GEF，

∴∠HGE+∠BHG＝180°，

∵∠BJK+∠BJH＝180°，∠BJH＝∠BHJ，

∴∠BJK＝∠HGE，

∵GE＝BH＝BJ，∠BKJ＝∠GKE，

∴△BKJ≌△EKG(AAS)，

∴BJ＝GE．