Question

（2012•邯鄲二模）如圖，在△ACB中，∠ACB=90°，AC=4，BC=2，點(diǎn)P為射線CA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以P為圓心，1為半徑作⊙P．
（1）連接PB，若PA=PB，試判斷⊙P與直線AB的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）當(dāng)PC為

4±

5

時(shí)，⊙P與直線AB相切？當(dāng)⊙P與直線AB相交時(shí)，寫出PC的取值范圍為

4-

5

＜PC＜4+

5

；
（3）當(dāng)⊙P與直線AB相交于點(diǎn)M，N時(shí)，是否存在△PMN為正三角形？若存在，求出PC的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）首先利用等腰三角形的性質(zhì)得出AD=BD，再利用勾股定理得出AB的長，進(jìn)而得出PD的長，即可得出⊙P與直線AB的位置關(guān)系；
（2）分別利用當(dāng)⊙P與直線AB相切于點(diǎn)M，以及當(dāng)⊙P′在線段CA的延長線上與直線AB相切于點(diǎn)N，利用相似三角形的性質(zhì)得出PC的長即可，進(jìn)而得出當(dāng)⊙P與直線AB相交時(shí)，PC的取值范圍；
（3）當(dāng)△PMN為正三角形，即△PMN是邊長為1的三角形，利用cos30°=

PH

PN

，求出PH的長，進(jìn)而得出PA，PC的長，同理可得出當(dāng)⊙P交在BA的延長線部分時(shí)，PC的長．

解答：解：（1）如圖1，過點(diǎn)P作PD⊥AB于點(diǎn)D，
∵PA=PB，∴AD=BD，
在Rt△ACB中，AC=4，BC=2，
∴AB=

AC2+BC2

=2

5

，∴AD=

5

，
∵tan∠CAB=

PD

AD

=

BC

AC

，∴PD=

5

2

＞1，
∴⊙P與直線AB相離；               

（2）如圖2，當(dāng)⊙P與直線AB相切于點(diǎn)M，連接PM，
則PM⊥AB，
∵∠CAB=∠CAB，∠AMP=∠C=90°，
∴△APM∽△ABC，
∴

AP

AB

=

PM

BC

，
∵AB=2

5

，
∴

4-PC

2 5

=

1

2

，
解得：PC=4-

5

，
當(dāng)⊙P′在線段CA的延長線上與直線AB相切于點(diǎn)N，連接PN，
則PN⊥AB，
∵∠NAP′=∠CAB，∠ANP′=∠C=90°，
∴△AP′N∽△ABC，
∴

AP′

AB

=

P′N

BC

，
∵AC=4，BC=2，
∴AB=

AC2+BC2

=2

5

，
∴

P′C-4

2 5

=

1

2

，
解得：P′C=4+

5

，
故當(dāng)PC為4±

5

時(shí)，⊙P與直線AB相切，
則當(dāng)⊙P與直線AB相交時(shí)，寫出PC的取值范圍為4-

5

＜PC＜4+

5

；
故答案為：4±

5

，4-

5

＜PC＜4+

5

；   

（3）如圖3，當(dāng)⊙P和線段AB相交時(shí)，過點(diǎn)P作PH⊥AB于點(diǎn)H，
∵△PMN為正三角形，即△PMN是邊長為1的三角形；
∵cos30°=

PH

PN

=

PH

1

，
∴PH=

3

2

，
∵sin∠CAB=

PH

PA

=

CB

AB

，
∴PA=

15

2

，
∴PC=4-

15

2

；
當(dāng)⊙P交在BA的延長線部分時(shí)，
過點(diǎn)P′作P′H′⊥AB于點(diǎn)H′，
∵△P′M′N′為正三角形，即△P′M′N′是邊長為1的三角形；
∵cos30°=

P′H′

P′N′

=

P′H′

1

，
∴P′H′=

3

2

，
∵sin∠CAB=sin∠P′AH′=

P′H′

P′A

=

BC

AB

，
∴P′A=

15

2

，
P′C=4+

15

2

．
綜上所述，PC=4-

15

2

或 PC=4+

15

2

．

點(diǎn)評：此題主要考查了圓的綜合應(yīng)用以及銳角三角函數(shù)的應(yīng)用和相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，根據(jù)數(shù)形結(jié)合進(jìn)行分類討論得出是解題關(guān)鍵．