Question

如圖，在平行四邊形ABOC中，已知C，B兩點的坐標分別為C（-3，0），B（-1，-2）．
（1）直接寫出點A的坐標及點A關(guān)于x軸對稱的點A′的坐標．
（2）求直線A′B與坐標軸的交點坐標．
（3）在y軸上是否存在一點P，使得點P到點C、點A′的距離之和PC+PA′最小？若存在，請點P求出的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由C（-3，0），B（-1，-2），可知A（-1-3，-2），點A′與點A關(guān)于x軸對稱，橫坐標相同，縱坐標互為相反數(shù)；
（2）已知A'（-4，2），B（-1，-2），根據(jù)“兩點法”列方程組可求直線A′B的解析式，從而可求直線A′B與坐標軸的交點坐標；
（3）存在；根據(jù)點的對稱性求點C關(guān)于y軸對稱的點C′（3，0），求直線AC′的解析式，令x=0，求y的值，從而確定P點的坐標．

解答：解：（1）A（-4，-2），A'（-4，2）；

（2）設(shè)直線A′B解析式為y=kx+b，將A'（-4，2），B（-1，-2）代入，得

-4k+b=2 -k+b=-2

，解得

k=- 4 3 b=- 10 3

，即直線A'B為y=-

4

3

x-

10

3

，
所以直線A'B與坐標軸的交點坐標為（0，-

10

3

），（-

5

2

，0）；

（3）∵點C（-3，0）關(guān)于y軸對稱的點C′坐標（3，0），
設(shè)直線A′C′解析式為y=kx+b，則

-4k+b=2 3k+b=0

，解得

k=- 2 7 b= 6 7

，
即直線A'C'為y=-

2

7

x+

6

7

，
∴存在符合條件的點P，其坐標為（0，

6

7

）．

點評：本題考查了點的坐標的對稱性，要注意利用一次函數(shù)的特點，列出方程組，求出未知數(shù)，寫出解析式，再利用解析式求直線與坐標軸的交點坐標．