Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（8，0）、（0，6）．動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)O、動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A同時(shí)出發(fā)，分別沿著OA方向、AB方向均以1個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒）（0＜t≤5）．以P為圓心，PA長(zhǎng)為半徑的⊙P與AB、OA的另一個(gè)交點(diǎn)分別為C、D，連接CD、QC．
（1）求當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)D重合？
（2）設(shè)△QCD的面積為S，試求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并求S的最大值；
（3）若⊙P與線段QC只有一個(gè)交點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出t的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵A（8，0），B（0，6），
∴OA=8，OB=6，
∴AB===10，
∴cos∠BAO==，sin∠BAO==．
∵AC為⊙P的直徑，
∴△ACD為直角三角形．
∴AD=AC•cos∠BAO=2t×=t．
當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)D重合時(shí)，OQ+AD=OA，
即：t+t=8，
解得：t=．
∴t=（秒）時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)D重合．

（2）在Rt△ACD中，CD=AC•sin∠BAO=2t×=t．
①當(dāng)0＜t≤時(shí)，
DQ=OA-OQ-AD=8-t-t=8-t．
∴S=DQ•CD=（8-t）•t=-t²+t．
∵-=，0＜＜，
∴當(dāng)t=時(shí)，S有最大值為；
②當(dāng)＜t≤5時(shí)，
DQ=OQ+AD-OA=t+t-8=t-8．
∴S=DQ•CD=（t-8）•t=t²-t．
∵-=，＜，所以S隨t的增大而增大，
∴當(dāng)t=5時(shí)，S有最大值為15＞．
綜上所述，S的最大值為15．

（3）當(dāng)CQ與⊙P相切時(shí)，有CQ⊥AB，
∵∠BAO=∠QAC，∠AOB=∠ACQ=90°，
∴△ACQ∽△AOB，
∴=，
即=，
解得t=．
所以，⊙P與線段QC只有一個(gè)交點(diǎn)，t的取值范圍為0＜t≤或＜t≤5．
分析：（1）根據(jù)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)求出OA、OB，利用勾股定理列式求出AB，根據(jù)點(diǎn)Q的速度表示出OQ，然后求出AQ，再根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角可得∠ADC=90°，再利用∠BAO的余弦表示出AD，然后列出方程求解即可；
（2）利用∠BAO的正弦表示出CD的長(zhǎng)，然后分點(diǎn)Q、D重合前與重合后兩種情況表示出QD，再利用三角形的面積公式列式整理，然后根據(jù)二次函數(shù)的最值問題解答；
（3）有兩個(gè)時(shí)段內(nèi)⊙P與線段QC只有一個(gè)交點(diǎn)：①運(yùn)動(dòng)開始至QC與⊙P相切時(shí)（0＜t≤）；②重合分離后至運(yùn)動(dòng)結(jié)束（＜t≤5）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓綜合題型，主要利用了解直角三角形，勾股定理，三角形的面積，相似三角形的判定與性質(zhì)，二次函數(shù)的最值問題，綜合性較強(qiáng)，但難度不大，關(guān)鍵在于要考慮點(diǎn)Q、D兩點(diǎn)重合前后兩種情況，這也是本題容易出錯(cuò)的地方．