Question

4．如圖，直線y=kx+b（k≠0），與反比例函數(shù)y=$\frac{m}{x}$（m≠0）的圖象交于第一象限內(nèi)的A、B兩點(diǎn)，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，4），OB與x軸正半軸的夾角為α，且tanα=$\frac{1}{3}$．
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)．
（2）直接寫出使不等式kx+b-$\frac{m}{x}$＞0成立的正整數(shù)x的值．

Answer 1

分析 （1）將點(diǎn)A坐標(biāo)（3，4）代入反比例函數(shù)解析式y(tǒng)=$\frac{m}{x}$，求出m的值，過B作BC⊥x軸于點(diǎn)C．在Rt△BOC中，由tanα=$\frac{1}{3}$，可設(shè)B（3h，h）．將B（3h，h）代入y=$\frac{12}{x}$，求出h的值，即可得到點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）不等式kx+b-$\frac{m}{x}$＞0成立時即一次函數(shù)的圖象在反比例函數(shù)的圖象的上方，寫出自變量x的取值范圍進(jìn)而求解即可．

解答 解：（1）將點(diǎn)A坐標(biāo)（3，4）代入反比例函數(shù)解析式y(tǒng)=$\frac{m}{x}$，
得m=3×4=12，
則y=$\frac{12}{x}$．
過B作BC⊥x軸于點(diǎn)C．
∵在Rt△BOC中，tanα=$\frac{1}{3}$，
∴可設(shè)B（3h，h）．
∵B（3h，h）在反比例函數(shù)y=$\frac{12}{x}$的圖象上，
∴3h²=12，解得h=±2，
∵h(yuǎn)＞0，∴h=2，
∴B（6，2）；

（2）當(dāng)x＞0時，由圖象得不等式kx+b-$\frac{m}{x}$＞0成立時，3＜x＜6，
所以滿足條件的正整數(shù)x的值是4，5．

點(diǎn)評 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，利用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，正切函數(shù)的定義，難度適中，利用數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．